解き方を教えてください。

質問

r=exp(jΦ)=cosΦ＋jsinΦ
で、
r={cosθ＋j√{(sinθ)^2 －n^2}/{cosθ－j√{(sinθ)^2 －n^2}
があり、これを解くと

Φ=2*tan[{√{(sinθ)^2 －n^2}}/cosθ]^-1
(タンジェントインバースということです)

になるらしいのですが、どのようにすれば
Φを求めることができるのでしょうか。

回答No.5

nubou

ａ，ｂをそれぞれ実数としａ－ｂが２・πの整数倍の時ａ≡ｂとかく

ｒを複素数としｘ，ｙをそれぞれ実数としたとき

ｒ＝ｅｘｐ（ｊ・Φ）＝（ｘ＋ｊ・ｙ）／（ｘ－ｊ・ｙ）ならば

ａｒｇ（ｒ）≡Φ≡ａｒｇ（ｘ＋ｊ・ｙ）－ａｒｇ（ｘ－ｊ・ｙ）≡２・ａｒｇ（ｘ＋ｊ・ｙ）である

（ａｒｇ（ｘ－ｊ・ｙ）≡－ａｒｇ（ｘ＋ｊ・ｙ）であることに注意）

ｔａｎ＾（－１）の値域を－π／２以上π／２以下としｘ≠０とする

０＜ｘのとき：

ａｒｇ（ｘ＋ｊ・ｙ）≡ｔａｎ＾（－１）（ｙ／ｘ）であるから

Φ≡２・ｔａｎ＾（－１）（ｙ／ｘ）である

ｘ＜０のとき：

ａｒｇ（ｘ＋ｊ・ｙ）≡ｔａｎ＾（－１）（ｙ／ｘ）＋πであるから

Φ≡２・（ｔａｎ＾（－１）（ｙ／ｘ）＋π）≡２・ｔａｎ＾（－１）（ｙ／ｘ）である

従っていずれにしてもΦ≡２・ｔａｎ＾（－１）（ｙ／ｘ）である

回答No.4

siegmund

guiter さんのご回答の通りですが，今の場合はもう少し簡単にできるでしょう．
本質的に guiter さんの二番煎じのような気もしますが...

ｒの分母分子は虚数部の符号だけ違うのですから，
ｒの分子を R exp(jψ) と書けば，分母は R exp(-jψ) です．
したがって，
r = R exp(jψ) / R exp(-jψ) = exp(2jψ)
になります．
つまり，分子の偏角ψの２倍がｒの偏角Φです．
分子の偏角ψはあきらかに
tanψ = √{(sinθ)^2 －n^2} / cosθ
ですから
ψ = tan^(-1) [√{(sinθ)^2 －n^2} / cosθ]
あるいは
Φ = 2ψ = 2 tan^(-1) [√{(sinθ)^2 －n^2} / cosθ]

ただし，tan^(-1) は多価関数ですから値の範囲の選択に注意が必要です．
今は，分子の虚数部が √{(sinθ)^2 －n^2} > 0 ですから，
ψの範囲は 0＜ψ＜π です．
普通は tan^(-1) の主値は -π/2 から π/2 の間に取りますので，
そこらへんもご注意下さい．

なお，√{(sinθ)^2 －n^2} の中身は正だとしています．

回答No.3

guiter

まず、r の分母分子に、cosθ＋j√((sinθ)^2 －n^2) を掛けると、
　r = {cosθ＋j√((sinθ)^2 －n^2)}^2 / (1-n^2)
となります。

ここで、
　z = {cosθ＋j√((sinθ)^2 －n^2)}/√(1-n^2)
とすると r=z^2 となっています。
また、
　z = cos(Φ/2) + jsin(Φ/2)
なので、実部と虚部を比較して
　cos(Φ/2) = cosθ/√(1-n^2)
　sin(Φ/2) = √((sinθ)^2 －n^2)/√(1-n^2)
を得ます。
すると、
　tan(Φ/2) = √((sinθ)^2 －n^2)/cosθ
が出てきます。

複素平面上での割り算の操作によってベクトルがどのように回転するのかを考えると、
ここまで数式をいじらなくても、cos(Φ/2),sin(Φ/2)などはすぐに求まると思います。

回答No.2

mickel131

夜も遅く、1回解いただけなので自信はありませんが、
まず、r=　{cosθ＋j√{(sinθ)^2 －n^2}｝　/{cosθ－j√{(sinθ)^2 －n^2}｝
の分母と分子に、{cosθ－j√{(sinθ)^2 －n^2}｝の共役複素数、{cosθ＋j√{(sinθ)^2 －n^2}｝　を掛けて、分母を有理化します。
すると、
ｒ＝（２（cosθ)^2-1)/(1-n^2)
+ (2 cosθ/(1+n^2))*√{(sinθ)^2 －n^2} *j
となります。
これが、cosΦ＋jsinΦ ですから、
（２（cosθ)^2-1)/(1-n^2)　が　cosΦ　であり、
(2 cosθ/(1+n^2))*√{(sinθ)^2 －n^2}　が　sinΦ　です。

後で、必要になるので、ここで、１－cosθ　と　１＋cosθ　を求めておいてください。

さて、目標の
Φ/2　=　tan[{√{(sinθ)^2 －n^2}}/cosθ]^-1
を示すには、
tan(Φ/2)　＝　√{(sinθ)^2 －n^2}}/cosθ
が言えればよいわけです。

そこで、tan(Φ/2)を求めます。
コサインの加法定理　cos（α　＋β）＝cos α cos β－sin α sin　β　で、
β＝α　と置くと、　　cos2α　＝（cosα）＾２－（sinα）＾２　　－－－（２）
ここで、（sinα）＾２＝１－（cosα）＾２　　を代入すると、
cos2α　＝２＊（cosα）＾２－１　　という式ができます。
この式から、（cosα）＾２＝（　１＋cos2α　）/２　－－－（３）
（２）で、、（cosα）＾２　＝１－（sinα）＾２　を代入すると、
cos2α　＝１－２＊（sinα）＾２　
この式から、（sinα）＾２＝（　１－cos2α　）/２　－－－（４）
（４）÷（３）より、
（tanα）＾２　＝（（sinα）＾２）÷(（cosα）＾２)
＝（　１－cos2α　）÷（　１＋cos2α　）
ここで、α　＝Φ/2　と置くと、　2α＝Φ　で、
これにより、tan(Φ/2)　の２乗が求まります。つまり、上で求めておいた、
１－cosθ　を　１＋cosθ　で割ればよいわけです。あと、ルートして、
tan(Φ/2)　を求めますと、
{√{(sinθ)^2 －n^2}/｛２（cosθ)^2－ｎ＾２｝
となります。
分母は、cosθにはなりませんでした。私の計算にミスがあったかもしれません。
ご自分でお確かめください。
この説明でわかりにくいところがあれば、また質問してください。それでは。

回答No.1

chukanshi

sin(x)=(exp(jx)-exp(-jx))/(2j)
cos(x)=(exp(jx)+exp(-jx))/2
というのはごぞんじですよね。
exp(jx)=cos(x)+jsin(x)
exp(-jx)=cos(x)-jsin(x)
から求まりますよね。

で、sin(x),cos(x)がわかっているので、
tan(x)=sin(x)/cos(x)=)=(exp(jx)-exp(-jx)/j(exp(jx)+exp(-jx))
=(exp(2jx)-1)/j(exp(2jx)+1)
となります。exp(2jx)に関して解いて、logをとると、
arctan(x)=(-j/2)log((1+jx)/(1-jx))
となります。arctan(x)とは、tan^(-1)(x)のことです。
（タンジェントのマイナス１乗ではありません。タンジェントの逆関数です。）
面倒なので、
√{(sinθ)^2 －n^2}=u
とおきましょう。
r=(cos+ju)/(cos-ju)
と表記します。
すると、
jΦ=log((cos+ju)/(cos-ju))=log((1+ju/cos)/(1-ju/cos))
=(-2/j)arctan(u/cos)
ですね。よって両辺jでわってやれば、
Φ=2*arctan(u/cos)
で求めるべき式がもとまります。
おわり。