期待値の線形性

質問

今私は家庭教師をやっていて、期待値の線形性が何故成り立つかを質問されたのですが、答えることが出来ませんでした。
　私自身もどのように証明するか分からないのですが、どなたか分かりやすく証明を説明できる方はいないでしょうか？

回答No.1

F_P_E · ベストアンサー

はじめまして。

期待値の定義から、期待値の線形性は明らかです。確率変数が離散的であればΣは当然線形性を有していますし、連続的であれば∫は線型作用素ですので。

例えば、確率変数X（連続的としましょう）について。X∈[x,x+dx]である確率をP(x)dxとしましょう。期待値<X>は
<X> = ∫dx x*P(x)
です。したがって、定数a,bについて
<a*X+b> = ∫dx (a*x+b)*P(x)
= a*∫dx x*P(x) + b
= a*<X> + b
となります。これで期待値の線型性を示せました。

上では少し専門的に証明したつもりです。高校生程度でも上のような議論展開であると思われます。

がんばってください。

お礼

なるほど。大体分かりました。
生徒には期待値の定義からΣと∫の話しに持って行き、そこから線形性を説明したいと思います。
丁寧な回答ありがとうございました。