サイクロイド 一般式の求め方

質問

よろしくお願いします。

サイクロイドの一般式は、半径をr,初め原点oにあった点pに対して、円がθ回転したときのｐの座標を（ｘ、ｙ）としたとき、
x=a(θ-sinθ), y=a(1-cosθ)
と表されるとあります。

ですが、この一般式の求め方を参考書にもテキストにも載っていません。

ヒントとして、円の中心をｃとして、OA=弧AP（Aは円とＸ軸の接点）よりOC=(aθ,a), CP=a(-sinθ, -cosθ)となるため。

とありましたが、私はよくわかりませんでした。
そこでネットでサイクロイドの媒介変数表示などで、検索したのですが、どれも、この一般式は書いているのですが、その求め方を書いていませんでした。

そこで質問なのですが、サイクロイドの一般式の求め方を書いたページはありませんでしょうか。

どなたかご存知の方があれば、教えてくださ。よろしくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

図を描いて考えてみればわかるかと思います。
円がx軸上を120°くらい転がった図がいいかな。一つ描けば十分だと思います。

サイクロイド曲線はx軸の上を円が転がっていくとき、円周上の点Pの奇跡ですよね。
そのPのx,y座標をどれだけ回転したかという量θで表せればいいわけです。

そのために必要な考えは幾つかあります。
・円はx軸上を滑らずに転がっていく。
(回転しただけ進むし、逆に進んだ分だけ回転してることになる)
・扇形の弧の長さの公式。
(半径r,中心角θのとき弧長l=r*θ)
・円周上の座標の求め方。
(補助線を引きましょう。円周上の点Pと円の中心Cを結んだり。適当な場所に垂線を下ろしたり)

これらのことをふまえて図中に直接値を書き込んで見ましょう。例えば円の中心がx軸方向に進んだ距離をθで表した量などを。

お礼

早速、ご回答ありがとうございます。
できたら、なにも見ずに自分で求めたいので、教えていただいたのを参考にもう一度がんばってみます。ありがとうございます。

補足

あの後、自分でヒントを参考にさせていただいてやってみたら、自分で求めることができました。
Pからy=rに補助線をひいて、三角形を作ってやりました。少し時間がかかりましたが、なんとか自分で求めることができました。ありがとうございました。

回答No.3

chiropy

＞サイクロイドの一般式は、半径をr,初め原点oにあった点pに対して、円がθ回転したときのｐの座標を（ｘ、ｙ）としたとき、
x=a(θ-sinθ), y=a(1-cosθ)
と表されるとあります。

これはa=rと考えてよろしいのですよね？まぁそれはさておき、まず考え方のヒントを書きます。

(0,r)を中心とする半径rの円を書き、原点上の点をP。とする。その円がθ回転した時P。が移動した点をPとし、また移動後の円の中心をC、そこからx軸に下ろした垂線の足をHとします。
Pの座標を求めるにはPの位置ベクトル（→OP）を求めればいいです。あとは既知ベクトルを結ぶことを考えます。

数IIIにおいて座標をベクトルを用いて求めることは重要になってきます。特に空間においては座標平面の知識が使えない（例えば直線の公式などは適用できない）ことも多いため、座標を求めるのが得意なベクトルを用いるのです。
20行下に私なりの考え方も載せてみましたので参考にして下さい。（自力で考えるのでしたら読まないほうがいいです。）

■考え方（続き）
→OP＝→OH＋→HC＋→CP
であるので、あとは右辺のベクトルを求めていきます。
→OH＝（rθ,0）
これはOHは弧HPに等しいからです。
→HC＝（0,r）
これは明らかでしょう。
→CP＝r（cos{(3π/2)-θ},sin{(3π/2)-θ}）
＝r(-sinθ,-cosθ)
よってこれらを足すと
→OP＝r(θ-sinθ,1-cosθ)
となるので点Pの座標は
P（x,y）＝（r(θ-sinθ),r(1-cosθ)）

最後の→CPが分かりにくいかもしれません。もしそうなら言ってください。また補足します。

お礼

ご回答ありがとうございました。
テキストにも、このタイプはベクトルを使った考察が明快なので、しっかり理解しておこう、とありました。
で、自分なりにやりました。一応挙げていただいたヒントをもとにやりましたら、一般式を求めることができました！が、書いていただいたのと→CPのところが違いました。私は、→CPのところで、（-rcos(θ-π/2), rsin(θ-π/2))としました。これを加法定理でといて、OPを求めると一般式になりました。
角度の取り方がことなったためでしょうか。
よい練習になりました。ご回答ありがとうございました。

回答No.2

KENZOU

＞サイクロイドの一般式の求め方を書いたページはありませんでしょうか

ココ↓にありますよ。No.468をご覧ください。

http://www.junko-k.com/cthema/20saisoku.htm

説明は不要と思いますが，念のため。。。
サイクロイド曲線を描く点Pの座標をP(x,y)，円の半径をaとします。参考URLの絵を見てください。
OQ=PQ=aθですね。x,yを求めると
x=OQ-CPsinθ=aθ-asinθ=a(θ-sinθ)
y=CQ-CPcosθ=a-acosθ=a(1-cosθ)

参考URL：

http://www.junko-k.com/cthema/20saisoku.htm

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考URLをみせていただきました。