幾何学で困っています。

質問

四角形ABCDで、∠ABD=50°、∠CBD=30°、∠ACB=40°、∠ACD=30°のとき、∠CAD=？という問題を昔友人に出題されていまだにどこから手をつけていいか全くわかりません。ご存知の方いらっしゃいませんか？

回答No.4

funoe · ベストアンサー

「ラングレーの問題」で検索すれば、すぐに解答を発見できるでしょう。

たとえば、
http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.html

参考URL：

http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.html

お礼

ありがとうございます。リンク先にあるとおりに外心を書いたらすっと解けました・・・。あっけなく。有名な問題だったんですね・・・。

回答No.3

noname#101087

>凸四角形の場合を強引に試算します。
式の記述が支離滅裂でした。訂正版です。

頂点A,D から辺BC へ垂線を立て、その脚をE,F とし、AE の長さをa, DF の長さをd とする。
(角度の単位は度)、
　BC=a*(cot80+cot40)=d*(cot30+cot70)
が成立つから
　(a/d)=(cot30+cot70)/(cot80+cot40)

EF の長さをe とすると
　e=a*cot40-d*cot70

さらに頂点D からAE へ垂線を立て、その脚をG とする。
線分GD と線分DA の角度をgとする。
　tan(g)=(a-d)/e
これらから、g を算出可能。

　∠CAD=70-30-g
だから、所望の角度を得られる。

(ミスしてなければ、g=20(度) らしい)

お礼

ありがとうございます。ただ、tan(g)=…の解き方がわかりませんでした・・・。

回答No.2

noname#101087

>...直感的にも求めるべき角がこれらの情報で一意的に定まることはわかりますので、おそらく内角の和などで単純に求まるのではなく
>補助線をいくつか引いてとくのではないかと思ってはいるのですが...

この四角形、相似の範囲内で定まりますね。凸四角形の場合を強引に試算します。

頂点A,D から辺BC へ垂線を立て、その脚をE,F とし、AE の長さをa, DF の長さをd とする。
EF の長さをe とすると
(角度の単位は度)、
　e=a*(cot80+cot40)=d*(cot30+cot70)
が成立つから
　(a/d)=(cot30+cot70)/(cot80+cot40)

さらに頂点D からAE へ垂線を立て、その脚をG とする。
線分GD と線分DA の角度をgとする。
　tan(g)=(a-d)/e
これらから、g を算出可能。

　∠CAD=70-30-g
だから、所望の角度を得られる。

(ミスしてなければ、g=20(度) らしい)

回答No.1

noname#147743

問題の条件はそれだけですか？
四角形ＡＢＣＤは円に内接しているとか、対角線ＡＣとＢＤの交点をＯとすると、ＡＯ＝ＤＯとか・・・

こういう問題は、三角形や四角形の内角の和をつかって、わかっていない部分の角度を求めていくといいとおもいます。

（仮にこの四角形が円に内接しているならば、内接している四角形の対角和が１８０度などもつかいつつ・・・）

補足

早速のレスありがとうございます。条件はこれだけです。直感的にも求めるべき角がこれらの情報で一意的に定まることはわかりますので、おそらく内角の和などで単純に求まるのではなく補助線をいくつか引いてとくのではないかと思ってはいるのですが・・・