平行四辺形の角度

質問

平行四辺形ABCDにおいて、∠ABD=45、∠CBD=30のとき、
∠ACBはいくらか？という問題ですが一意に求まるでしょうか？
NHKの高校数学講座で三角関数を使って解く問題をやっていたのですが
単純に初等幾何を使って解けないかと考えているうちにぶつかった
疑問なのですが。

回答No.3

age_momo

答えは一意には決まります。一つの角度が75度の平行四辺形は沢山ありますが、
対角線を引いた時に角度が45度になるものは一つです。とすれば∠ACBも一つです。

△BCDにおいて正弦定理を使うと

BC/sin45°=CD/sin30°
BC/CD=√2
今、BC=AC=√2、AB=DC=1とおいて余弦定理でACを決めて再度、△ABCで正弦定理を
使うと

sin∠ACB=AC*sin75°/BC

で求められるとは思います(ちゃんとした数字になるかどうかは？？？）
ただ、三角関数を使わずに求められるかと聞かれれば、おそらく無理だと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
NHK高校数学講座では三角形ABCで∠ABC=105、∠ACB=45、
BC=100mとしてABは何mかを正弦定理を使って求める問題
でしたが、AB=100√2になるのでCA上にBD=BCとなる点Dを
取ったときCD=100√2でAB=CDとなるので、ちょっと面白
いなと思って考えてみた次第です。
これから一般に∠ABD=a、∠CBD=bとして∠ACBを表す公式
が作れないかと思ったのですが綺麗にはいかないようです。

回答No.2

inara

ABCDというのは時計周りか反時計周りの頂点の名前ですね？（でないと変になる）。だとしたら一意に決まりませんね。

∠ABD=45、∠CBD=30のとき、∠BCA=xとおくと、三角形ABCの内角の和=180なので∠BAC=105-xとなりますね。ABCDは平行四辺形なので、ABとCDは平行ですから、∠BAC=∠DCA=105-xとなります。したがって∠BCD=∠BCA+DCA=x+105-x=105となってxに依らずいつも一定です。

xが変わるというのは平行四辺形の高さ（辺BCと辺ADの距離）、あるいは幅（?）が変わるときですが、それが変わっても同じ頂角の平行四辺形のままですので、∠BCDはいつも105（度）です。逆に言えば、xを求めるにはどこか1辺の長さが必要です。

辺の長さ（どこでもいい）からxを求めるには、ちょっと難しいですが、以下の式を使えば計算できます。cos(x)=とかsin(x)=という形でしか出せませんが。
sin30=1/2、cos30=√(3)/2、sin45=√(2)/2、sin45=√(2)/2
sin(30+45)=sin(30)*cos(45)+cos(30)*sin(45)=√(2)*(√3+1)/4
cos(30+45)=cos(30)*cos(45)-sin(30)*sin(45)=√(2)*(√3-1)/4

回答No.1

T N（@hokkai1234）

CBD＝ACBなのでは？