この答えであってますでしょうか・・。

質問

お礼は必ず書かせていただきますのでよろしくお願いします＞＜；

複素数を使ったフーリエ変換で、
途中式があっているかどうか不安な答えがあります。

nは一つの項ではなく、エックスエヌとしての添えてある値です。

xn = a^n (n=0,1,…,N-1)　　…(1)

　　N-1
Xk = Σ xn * exp(-2πjkn / N)　　…(2)
　　n=0

(1)式を(2)式に代入して解こうと思ったのですが
まず
eはcosとsinに分解できるなと思ったんですが

Xk = xn * {cos(-2πjkn/N) + sin(-2πjkn/N)}

でいいんでしょうか・・；
代入して最終的にどういう形にすればよいのかわかりません＞＜
どなかよろしくお願いします＞＜

回答No.2

tatsumi01 · ベストアンサー

> Sn = (1-p^n)/(1-p)
> になるから
> p=a * exp(-2πjk / N)より
> Sn = [1-{a * exp(-2πjk / N)}^n] / {1-a * exp(-2πjk / N)}

きちんとチェックしていませんが、多分これでいいでしょう。なお、分母は複素数になりますが、分母の共役複素数を分子・分母に乗ずると見やすい式 (洞察の働く式) になるかも知れません。

p=1 (No. 1 ではρでしたが) のときは級数の和の公式 Sn = (1-p^n)/(1-p) が使えませんから別扱いして下さい。

回答No.1

tatsumi01

(1)式を(2)式に代入すると
　　N-1
Xk = Σ a^n * exp(-2πjkn / N)
　　n=0
和を取る各項を
a^n * [exp(-2πjk / N)]^n = [a * exp(-2πjk / N)]^n = ρ^n
と書き換えれば、Σは等比級数ですから公式を使って簡単に求められます（ρ≠1 のとき。ρ=1 は別扱い）。

お礼

なるほど、お答えありがとうございます。
では

　　N-1
Xk = Σ p^n
　 　n=0

は
初項1
公比p

で

Sn = (1-p^n)/(1-p)

になるから

p=a * exp(-2πjk / N)より

Sn = [1-{a * exp(-2πjk / N)}^n] / {1-a * exp(-2πjk / N)}

が答えという事でよいのでしょうか？