２次関数の頂点の座標について

質問

y=ax^2+bx+cの頂点は一般的に{-(b/2a),-(b^2-4ac)/4a}と表せると、学校の先生が言っていました。
これは解の公式にかなり似ていますが、解の公式をどのように変形したものでしょうか。その変形式を教えてください。

回答No.2

debut · ベストアンサー

これは、解の公式を導く計算を、途中でストップしたものです。

ax^2+bx+c
=a{x^2+(b/a)x}+c
=a{x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2}+c　←xの係数の1/2の2乗を加え、引く
=a{x^2+(b/a)x+b^2/4a^2}-b^2/4a+c　←{ }内、最後の項にaをかけて外へ
=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a　　　　　← c=4ac/4aと通分してまとめる
と、ここでストップすれば頂点の座標。

解の公式では、=0なので、-(b^2-4ac)/4aを移項して、最後はx=・・・
になるまで変形していくことになります。

回答No.1

noname#20377

y=ax^2+bx+c
=a(x^2+(b/a)x)+c
=a(x+(b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c
=a(x+(b/a)x + (b/2a)^2) - a(b/2a)^2 + c
=a(x+(b/2a))^2 +( -b + 4ac)/4a

が平方完成で、だから

>頂点は一般的に{-(b/2a),-(b^2-4ac)/4a}でしたね？

ax^2+bx+c=0のとき、
a(x+(b/2a))^2 +( -b^2 + 4ac)/4a = 0
a(x+(b/2a))^2 = -(-b^2 + 4ac)/4a
(x+(b/2a))^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2
x+(b/2a) = ± √(b^2 - 4ac)/2a
x = {- b ± √(b^2 - 4ac)}/2a

となるわけです