2次関数の頂点の公式が求められません

質問

2次関数の頂点を求めるときの公式で

ax^2+bx+c
=a{x^2+(b/a)x}+c
=a{x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2}+c　
=a{x^2+(b/a)x+b^2/4a^2}-b^2/4a+c　

ここまでは分かります。
次に、どうして－4acになるのでしょうか。
4aで＋cを通分したら、+4ac/4aになって、
b/4a+4ac/4aになるから、
=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+4ac/4a
a(x+b/2a)^2-b^2+4ac/4a　　
になると思ったのですが、

答えは、
=a(x+b/2a)^2-b^2-4ac/4a　　　　　

で－4acになっています。
通分の仕方がどこかまちがっているのでしょうか？
4年ぶりに数学をやったらできていたところができなくなっていたので、勘違いをしていたら
指摘お願いいたします。

回答No.4

tomokoich · ベストアンサー

No2です
回答お礼の補足の件ですが
-(x-2)/2という場合
-(x-2)がすべて分母ならこれはカッコをはずすと(-x+2)/2ということと同じですよね
ただ紙に書く場合は-だけ前に持ってきてあとの分数全体を(x-2)/2としていると思いますが同じ意味です

ようは
-{(x-2)/2}ということで式全体にマイナスがかかるので符号をはずせば符号はすべて逆になります

このご質問の
-b^2/4a+4ac/4a
の部分も通分して
(-b^2+4ac)/4a
ならこのままでもいいし間違いではないのですが
-を外に出すと
-(b^2-4ac)/4a
になりこれを普通教科書では-を前に持ってきて残りの部分を(b^2-4ac)/4aとしていると思います
結構ややこしいですけど・・

パソコンではわかりづらいのでカッコをつけてしまいましたが上の式のカッコは教科書などではついていないと思います

お礼

通分をここまで丁寧に説明していただき、ありがとうございました。

ようやく分かりました（本当ににぶくてすみません）。
－b^２のマイナスの扱い方が分かりました。
例も分かりやすく、頭に染み込みました。
なぜこんなに通分ができなくなっていたかというと、
最後にマイナスで括る理由が理解できなかったというのもあったみたいです。

お時間をつかって教えていただき、ありがとうございました<(_ _)>

回答No.3

KEIS050162

再びですが、

ー（ｂ＾２－４ａｃ）／４ａ　でも、　（４ａｃ－ｂ＾２）／４ａでも　同じなので、どちらでも良いと思うのですが、
確かに、おっしゃられる通り、頂点の公式としては、後者の方が扱いやすいですね。

ｘ　＝　－ｂ／２ａ　の時の　ｙの座標は、　（４ａｃ－ｂ＾２）／４ａ　で計算した方が、すっきりしています。

私見ですが、恐らくこれはこの後、解の公式に発展させた時を鑑みて、この様にしたのではないかと思います。

このまま解の公式にすると、（即ち　ｙ＝０　と置くと）

０　＝　（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２　－　（ｂ＾２－４ａｃ）／４ａ
（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２　＝　（ｂ＾２－４ａｃ）／４ａ　　　　（定数項を移行した時、この形の方ががすっきりする）
このあと、解の公式へと展開…

二次方程式の解の公式にも、判別式としても使われる、（ｂ＾２ー４ａｃ）　の形を、平方完成の公式と逆共通化したということではないでしょうかね。この方が一つ覚えれば、関連が分りやすくなるので。

あくまでも私見ですが、ご参考に。

お礼

なるほど。

私がひっかかっていたのは通分もそうなのですが、
最後にマイナスでくくることをしなくてもいいんじゃないか？という疑問だったみたいです。
今、読んでいて気が付かされました。

しかも、それに対しての説明までいただけてありがとうございます！
この形にする意味があるのですね。それなら、納得してできそうです。

（それにしても、数学が苦手なのに、公式の意味まで深く考えないほうがよいのですかね。。）

回答No.2

tomokoich

質問者さんので合っていると思います
ただ解答はもしかして後半部分を括弧でくくって考えているのでは・・
そうすると
後半は
-{(b^2-4ac)/4a}
となって分母にb^2-4acがのっかっている形ではありませんか。そして最初の-は分数全体にかかっていませんか。

補足

回答ありがとうございました。

-{(b^2-4ac)/4a}

最初の－が分子全体にかかっているということでしょうか？
わたしは、この－が全体にかかるというところでひっかかっています。

例えば、
（５ｘ－３）／２－（ｘ－２）／２＝
の計算で、（ｘ－２）の前の－は、計算した時に全体にかからないと思うのですが、
それとは別なのでしょうか…

回答No.1

KEIS050162

通分した後の、プラスマイナスの付け方を間違えてますよ。

定数項だけ。

－ｂ＾２／４ａ　＋　ｃ　＝　－ｂ＾２／４ａ　＋　４ａｃ／４ａ
　　　　　　　　　　　　　　＝　－（ｂ＾２　－　４ａｃ）／４ａ

ご参考に。

これでも？？？の場合。

－ｂ＾２／４ａ　＋　ｃ　＝　－ｂ＾２÷４ａ　＋　４ａｃ÷４ａ
　　　　　　　　　　　　　＝　４ａｃ÷４ａ　－　ｂ＾２÷４ａ
　　　　　　　　　　　　　＝　（４ａｃ－ｂ＾２）　÷　４ａ
　　　　　　　　　　　　　　＝　－（ｂ＾２　－　４ａｃ）　÷４ａ

通分して、分子をまとめるということは、（）でくくるということです。

補足

回答ありがとうございました。
－ｂ＾２／４ａ　＋　ｃ　＝　－ｂ＾２／４ａ　＋　４ａｃ／４ａ
　　　　　　　　　　　　＝　－（ｂ＾２　－　４ａｃ）／４ａ
は私も考えたのですが、そうすると（私にとっては）すごく疑問なことがあります。
どうして－をわざわざ外に出してしまうんでしょうか。

書いていただいたこの式も（とてもわかりやすかったです！）
４行目でいきなりマイナスが飛び出ているのですが、マイナスがどうして飛び出してくるのかが
分からないのです。マイナスを出さなくてもいいような気がするんですが…
－ｂ＾２／４ａ　＋　ｃ　＝　－ｂ＾２÷４ａ　＋　４ａｃ÷４ａ
　　　　　　　　　　　　＝　４ａｃ÷４ａ　－　ｂ＾２÷４ａ
　　　　　　　　　　　　＝　（４ａｃ－ｂ＾２）　÷　４ａ
　　　　　　　　　　　　＝　－（ｂ＾２　－　４ａｃ）　÷４ａ

根本的になにか考えがおかしかったらすみません。