高校数学の問題（方程式）おしえてください！！

質問

Ｘについての２次方程式aX^2+2(a^2-2)X+a^2+2a+6>0の解が-1<X<3であるとき、定数aの値を求めよ。

-1<x<3を解を持つので
(X+1)(X-3)<0より
X^2-2X-3<0　(1)
aX^2+2(a^2-2)X+a^2+2a+6>0より
-aX^2-2(a^2-2)X-(a^2+2a+6)<0 (2)

質問壱
「　　←この時点で(1)(2)の係数比較して、例えば1=-a -2=2(a^2-2) -3=-(a^2+2a+6)として答え出したら駄目なのかがわからない。」

解答続き
(1)(2)は一致するので
-a/1=-2(a^2-2)/-2=-(a^2+2a+6)/-3　　　　←質問弐「なぜこうおけるのがわかりません。」

-a=a^2-2より
a=1 -2　　(3)

-a=a^2+2a+6/3より
a=-2 -3　　(4)

-a>0より　a<0　　(5)

(3)～(5)を同時に満たすaの値はa=-2

おそらくは皆さんにとって簡単な問題ばっかり毎回質問して本当に申し訳ありませんが、周りに教えてくれる人いないので困っています。教えてください。

回答No.3

postro · ベストアンサー

＞質問壱
＞「　　←この時点で(1)(2)の係数比較して、例えば1=-a -2=2(a^2-2) -3=-(a^2+2a+6)として答え出したら駄目なのかがわからない。」
この解答では、
＞-1<x<3を解を持つので
＞(X+1)(X-3)<0より
とやっているが、実際は「-1<x<3を解を持つ二次不等式」は「(X+1)(X-3)<0」だけに限らず、
２(X+1)(X-3)<0　とか　３(X+1)(X-3)<0　とか無数にある。だから
＞「　　←この時点で(1)(2)の係数比較して、例えば1=-a -2=2(a^2-2) -3=-(a^2+2a+6)として答え出したら駄目
です。

＞(1)(2)は一致するので
これはちょっと違う。「(1)(2)の解は一致するので」と誤解のないように書くべき。
(1)の両辺に「何か正の数」をかけたものが(2)と一致する。
だから(1)と(2)の係数の比が等しい。それで
＞-a/1=-2(a^2-2)/-2=-(a^2+2a+6)/-3　　　　←質問弐「なぜこうおけるのがわかりません。」
こうおけます。

お礼

＞実際は「-1<x<3を解を持つ二次不等式」は「(X+1)(X-3)<0」だけに限らず、
２(X+1)(X-3)<0　とか　３(X+1)(X-3)<0　とか無数にある。
おっしゃる通りです！！具体例を書いてくれたので大変良く理解できました。答えを聞くと「そりゃそうや！！」となんか自分がアホみたいに思えてきました。
僕の質問に一つずつ丁寧にかえしてくれてありがとうございました！！

回答No.2

chicken_man

-aX^2-2(a^2-2)X-(a^2+2a+6)<0　は-1<X<3の解を持つので
k(X^2-2X-3)<0　(kは自然数)　とも表せる。

そのため正確には　-a=k、-2(a^2-2)=-2k、-(a^2+2a+6)=-3k
となる。

よって上記の式の左辺を右辺で割ると
-a/k=1、-2(a^2-2)/-2k=1、-(a^2+2a+6)/-3k=1　となり
-a/k=-2(a^2-2)/-2k=-(a^2+2a+6)/-3k　全辺にkをかけて
-a/1=-2(a^2-2)/-2=-(a^2+2a+6)/-3　となります。

お礼

おぉーーー。Ｋとおくとよりわかりやすい！！
というか遠い過去にこんな解き方したような気がします！！ありがとうございました！！

回答No.1

noname#20116

いいところまでいってると思いますよ。
係数の比較ですから、比を出さなければいけないんです。
a対ｂとかありましたよね。

式（１）の両辺をｎ倍してもこの不等式は成立しますよね。

その比をもとめるのが、
-a/1=-2(a^2-2)/-2=-(a^2+2a+6)/-3　　です。

お礼

言われて見れば！？
式（１）の両辺をｎ倍してもこの不等式は成立しますよね。
普通に両辺Ｎ倍とかしますもんね！！なるほど！！なっとく！！簡潔かつ完璧な説明！！ありがとうございます。しかもこんなに早い回答ありがとうございました！！