ガウスの掃出し法

質問

連立方程式　(aij)(xi)=(bi) を解くアルゴリズムについて
まず簡単の為にdet(aij)≠0で考えてますが
このとき(aij)の行を適当に並び替えることで
∀i=1,…,nに対してaii≠0　とすることは可能でしょうか？
でないと(aij)を上半三角行列に変形することができないような気がします.
aii≠0の証明のヒントを教えて下さい.

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

以下に示す行列を左から掛けてみてください:
・a(ii), a(jj) 以外の対角成分と a(ij), a(ji) だけが 1 であとは全部 0 の行列
・対角成分は全部 1, a(ij) = a ≠ 0 でその他は全部 0 の行列

お礼

ありがとうございます．
お礼の返事が遅れてすみませんでした.
まだよく分ってませんがとりあえず次のような考えに至りました.
1. 連立方程式を解く行列はトータルでは
　　クラメルの公式で与えられる(解が1つだけの場合)

2. 変数を消去する操作に対応する行列を調べる

3. 1つずつ代入していく操作に対応する行列を調べる

これとクラメルの公式の証明が関係あるかどうかにも興味が出てきました.また係数行列が正則でない場合についてはどのような事が言えるのかも問題になると思いました.

回答No.3

noname#101087

>行列が行に対しても列に対してもマルチリニアであることとから0だけからなる行ベクトルや列ベクトルは存在しないことは分りますがその後がよく分りません.

「掃き出し操作の途中で、どの行(rk)もすべてのエントリーが零になることはあり得ません」
と書いたことに注目してください。

「掃き出し操作」は、線形結合です。
行列が正則ならば、線形結合の操作で零だけからなる行ベクトルに帰着することは無いはずです。

お礼

ありがとうございます．
やはりクラメルノ公式の公式を導く過程を参考にして
ガウスの掃出法を行列の積の過程に変換したいと思います
行列式=0の場合も考えたいです.

回答No.2

Tacosan

ヒントだけ:
・消去法ってのは, 結局のところ適当な行列を (左から) 掛けて変換してるだけ.
・変換に使う行列は, その形から必ず逆行列を持つ.
・(A, B; O, C) という形の行列 (上が A B, 下が O C) の行列式は det A det C.
・行列式が 0 でない行列は, どの列にも 0 でない要素を持つ.

お礼

ありがとうございます．
上半三角行列の行列式＝対角成分の積
であることはラプラス展開から説明できることは知っていました.(ラプラス展開の証明は分りませんが)

>消去法ってのは, 結局のところ適当な行列を (左から) 掛けて変換してるだけ.
この行列は実際にどう構成されるのかが分りませんでした.

回答No.1

noname#101087

たとえば、行列(aij)の行
　　rk = (ak1, ak2, ..., akn),　　k=1,2, ..., n
のセットについて考えます。
det(aij)≠0 ならば各行は一次独立ですから、掃き出し操作の途中で、どの行(rk)もすべてのエントリーが零になることはあり得ませんね。

この論法で、ワンステップの結果に少なくとも一つ、非零項が存在することを証明できませんか？

お礼

ありがとうございます．
行列が行に対しても列に対してもマルチリニアであることとから0だけからなる行ベクトルや列ベクトルは存在しないことは分りますがその後がよく分りません.

(1) rk(k=1,2,…,n)に対してak1≠0であるものが取れる
(2) (1)以外のrk(k=1,2,…,n)に対してak2≠0であるものが取れる
　　(∵)何となく分るような分らないようなです.
…
(n) (1),…,(n-1)以外のrkのakn成分は0にならない.