三角関数

質問

cos2θ+sinθ=ａ(0≦θ＜2Π)の解がちょうど2個存在するのは、□＜ａ＜□、ａ＝□/□のときである。

という問題なのですが、sinθ=ｔとおいて(-1≦ｔ≦１)
cos2θ+sinθ=-2t^2+ｔ＋1とおいて、そのあと、どうやって求めるのかがわかりません。　答えは、-2＜ａ＜０、ａ＝9/8です。
お願いします…

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#3です。
＞どうして、f(t)＝a　を満たすtが
＞t=1,-1の2個であること。　になるんですか？？
t=sinθ=1を満たすθは「0≦θ＜2π」の範囲ではθ=π/2の一個だけです。
また
t=sinθ=-1を満たすθは「0≦θ＜2π」の範囲ではθ=3π/2だけです。
このためf(1)=0となるa=0なるtの一個がt=1（このときθが一個）の場合、もう一個のtもπ/2以外のθが1つ求まるtすなわちt=-1でないと、2個のθが存在することになりませんね。
しかし、f(t)=-2(t-1)(t+(1/2)≠-2(t-1)(t+1)ですから、このケースが消えます。

＞それと、-1<t<1の範囲にf(t)=aを満たすtが一個存在すること　とありますが、問題はちょうど2個存在するとあるのに、f(t)=aを満たすtが一個存在することでもいいんですか？？

-1<t<1の範囲の一個のtに対してt=sinθを満たすθは、「0≦θ＜2π」の範囲では2個存在します。
勘違いしていませんか？
たとえば
t=1/2の時、sinθ=1/2を満たすθはθ=π/6 および 5π/6
t=-1/√2の時、sinθ=1/√2を満たすθはθ=5π/4 および 7π/4
と1個のtに対してθは必ず2個存在します。
お分かりになりませんか？

補足

再度申し訳ありません、
詳しく解答していただき、ほとんどわかったんですが、
＜しかし、f(t)=-2(t-1)(t+(1/2)≠-2(t-1)(t+1)ですから
の計算は、何処から得られるものなんでしょうか？？
本当に、何度もごめんなさい。

回答No.3

info22

f(t)=-2t^2+ｔ＋1 (-1≦t≦1)とおくと
-1≦t≦1を満たす１つのtに対して
t=sinθ(0≦θ＜2π)を満たすθが
２つ存在するのは　-1<t<1の時
1つ存在するのは、 t=±1の時
ですね。

従って　f(t)＝a　を満たすtが
t=1,-1の2個であること。f(1)=0,f(-1)=-2≠0 でこの場合はありえない。
　（a=0でθが2個でなく3個存在して条件を満たさない。）
または
-1<t<1の範囲にf(t)=aを満たすtが一個存在すること
　この場合はθが2個存在するので条件を満たす。
　y=f(t)=-2(t+1/2)(t-1)=-2{t+(1/4)}^2 +(9/8)=a (-1<t<1)
から、一個のtだけ存在するaの条件は
y=f(t)のグラフから
　a=9/8,-2<a<0となりますね。

お分かりでしょうか？

補足

ありがとうございます。
>t=sinθ(0≦θ＜2π)を満たすθが２つ存在するのは　-1<t<1の時1つ存在するのは、 t=±1の時ですね。
ここまでは、わかりました。
でも、その後がよくわかりません。どうして、f(t)＝a　を満たすtが
t=1,-1の2個であること。　になるんですか？？
それと、-1<t<1の範囲にf(t)=aを満たすtが一個存在すること　とありますが、問題はちょうど2個存在するとあるのに、f(t)=aを満たすtが一個存在することでもいいんですか？？

すみません、馬鹿みたいな質問ですが、解答お願いします…

回答No.2

nktn0108

f(x)=-2t^2+ｔ＋1
を平方完成してグラフをかくとわかると思います

回答No.1

koko_u_

方程式を解いて、t が求まったとして、
対応する θ が幾つになるかを考えて下さい。