逐次代入法、ニュートン法について

質問

問題のジャンルがよくわかってませんが、線形、非線形の方程式の解を誤差を少なくするための計算（逐次、ニュートンetｃ...）の問題の質問です。

　Ｉ＝[x0-d,x0+d]の範囲があります。
　g(x)はＩの中で
　|g(x)-g(y)|<= L|x-y| (x,y∈Ｉ、0<=L<1）
　成立させます。
　　ここで、｜g(x0)-x0|<=(1-L)d　(d>0)
が成立するとき、
　x=g(x)の解がただひとつ存在することを示せ。

この問題なんですが、
仮定を用いていろいろ計算したら
｜g(x0+d)-x0|<d
｜g(x0-d)-x0|<d
という式を導きだしましたが、答えにはいたりません。
レポート等の問題は禁止されているそうですが、ヒントだけでもよろしいので、何か情報をいただけますか？

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

ヒント１
　漸化式　x(n+1) = g(x(n)) で定義される数列がもし収束すれば、極限xは方程式 x = g(x) の解

ヒント２
　この数列がもし I の範囲外にとび出さなければ、

　|x(n+1) - x(n)|
　 = |g(x(n)) - g(x(n-1))|≦ L|x(n) - x(n-1)|

数列が I の範囲外にとび出さないことの証明が重要です。なお
｜g(x0)-x0|<=(1-L)d　…(1)
は
｜g(x)-x0|<=(1-L)d　…(2)
に変更する必要はないと思われます。条件(1)はすぐにチェックできますが、条件(2)はすぐにはチェックできません。そのため条件(1)の方が実用的です。

お礼

回答ありがとうございます。
特にヒント２！このおかげでレポート問題解けました。
助かりました。

回答No.3

endlessriver

|g(x)-g(y)|<= L|x-y|
をy=x0としてx=x0+dとx=x0-dの場合に分け、上式を展開します。
これに｜g(x0)-x0|<=(1-L)dを展開したものを代入します。
するとg(x)-xがx0-dとx0+dで中間値の定理が使える形ができるようです。連続なことは自明だし。

お礼

回答ありがとうございます。
うまく展開することができ、解の存在を示せました！！ほんとに助かりました！

回答No.1

metzner

こんばんは、一意性は
|g(x)-g(y)|<= L|x-y|
から簡単に主張できますよねたぶん?
(g(a)=a,g(b)=b, a,b∈Ｉと仮定して
上式を使う。|a-b|=0が出せますよね?)
これが正しいとしたら、後は
g(x)=x
の解を1つ構成したら証明終了ですね。
ところで条件
｜g(x0)-x0|<=(1-L)d　(d>0)
は
｜g(x)-x0|<=(1-L)d　(d>0)
ではないですか? 違いますか?
すいません私も自信があるわけでないですが。。

補足

回答ありがとうございます。
仮定は｜g(x0)-x0|<=(1-L)d　(d>0)で合っているようです。解の存在の証明はいまだにわかりませんが、中間値の定理などを使うのでしょうか？難しいです。
しかし、一意性の証明が理解できました。ほんとに助かります。ありがとうございました！！