標準偏差と正規分布との関係

質問

各サンプル値から平均値を引き算して，２乗して全て合計して，サンプル数で割ってルートして計算される標準偏差（σ）の式が成立する条件は，元となるサンプル値が正規分布に従うことが条件となるのでしょうか？
正規分布とσとの関係の説明はよく見るのですが，σを計算する上での前提が正規分布でないといけないかどうかという内容については，いろいろ検索しましたが見つけることができませんでした。

　また，例えば対数正規分布に従う場合にはσの式が別途ありますが，どの分布にも当てはまらないランダムなサンプルの場合の標準偏差というのはどのように計算するのでしょうか？あくまでもある分布に近似的にあてはめて，その分布に対応する標準偏差の式を用いて計算するということが確率統計上常識なのでしょうか？

上記２点，超基本的なことが理解できていません。よろしくお願いします。

回答No.1

kgu-2 · ベストアンサー

>標準偏差（σ）の式が成立する条件は，元となるサンプル値が正規分布に従うことが条件となるのでしょうか？
標準偏差そのものは、書きこまれた式で計算されます。これは、定義ですから、分布に関係しません。正規分布とσを関連させて議論するのは、正規分布していると、σの値から、つぎのようなことが分かる(主張できる)からです。

　具体的には、偏差値で考えてみます。偏差値の平均は50で、標準偏差は10の分布をしています。偏差値70の人は、平均の50から20離れている、すなわち、2σ離れています。平均＋２σ以下の人、すなわち、７０以下の人は、１００人だと97人ほどいると分布から分っています。すなわち、70の人は、１００人中、２番か３番だろう、ということです。

　これは、サンプルが、正規分布しているから、計算できます。他の分布では、主張できません(分布曲線が分かっていれば、その式から計算可ですが)。

>ランダムなサンプルの場合の標準偏差というのはどのように計算するのでしょうか？
　標準偏差の値は、分布によらず、同じ計算式です。
その結果得たσの値から、サンプルが正規分布している場合のみ、順位など役に立つ情報が得やすいということです。

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回答No.2

info22

定義としては、標準偏差は分散の√を取ったものです。
しかし正規分布での標準偏差が非常に多く使われるため
標準偏差といえば、正規分布の標準偏差ととらえられてしまうのが実情でしょう。
標準偏差は
>各サンプル値から平均値を引き算して，２乗して全て合計して，サンプル数で割ってルートして計算される標準偏差
で機械的に求められるのですが、
その標準偏差の意味する所は、分布によって異なります。
正規分布以外では正規分布のσのよう扱えないのも事実です。
つまり、標準偏差を求める意味が無いということで、
正規分布以外の分布では、分散や平均値やピーク値だけで扱い、確率分布密度関数から直接確率を求めたりするのが一般的（標準偏差は使われない）のが実情でしょうね。

http://minke.fish.hokudai.ac.jp/office-m/edu/biometry/presen/biometry06-3.pdf
http://www.hinkai.com/qc/hensa.html
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%C9%B8%BD%E0%CA%D0%BA%B9
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Univariate/rem-kw.html

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