三角形の面積比

質問

任意の三角形の各辺を順番に２：３に内分する点を各返上にとり、その３つの各点を対する、三角形の各頂点と結ぶと元の三角形の中に小さい三角形ができます。元の三角形と新しくできた小さい三角形の面積比を求めよ。
　前に一度やったことがあるのですが、解き方を忘れてしまいました。誰かヒントでもいいから、教えてください。

回答No.3

atsuota

この手の問題を幾何的に（比を使って）解くには「チェバの定理」や「メネラウスの定理」を使うと便利です。
（私は高校受験参考書で覚えたのですが、指導要項が当時と変わっているため、学校で習うのかどうかは不明です。しかし大変便利なので、ぜひ覚えておいたほうがよいでしょう。）

まずは定理の紹介から。（証明は省略）
三角形ABCの辺ABの内分点をD、辺BCの内分点をEとし、線分CDと線分AEの交点をGとする。
「メネラウスの定理」
(DB/AD)*(CE/BC)*(AG/GE)=1
同様に
(BE/EC)*(AD/AB)*(CG/GD)=1

「チェバの定理」
さらに直線BGと辺CAの交点をFとすると
(DB/AD)*(EC/BE)*(FA/CF)=1

＃２のslackwareさんの方法をこの定理を使って考えると、どこに補助線を引いたらよいかを考えなくても解けてしまいます。
AX/XEが求めたければ、線分ADB、線分BEC、線分AXEに対してメネラウスの定理を使います。
(DB/AD)*(EC/BC)*(AX/XE)=1
今DB:AD=3:2、EC:BC=EC:(BE+EC)=3:5なので、
(3/2)*(3/5)*(AX/XE)=1
よって、AX/XE=10/9
ここから先の計算は同じで、
答えはΔABCΔXYZ＝１９：１となります。

別解としてベクトルを用いる場合。
ベクトル記号が書きにくいので、ここではAからBへのベクトルを「AB→」と書きます。
また、図形上の各点の名前は＃２slackwareさんが定義されたものをそのまま使います。
[解答]
AB→とAC→を基準にして表すことにする。
AX→ = t*AD→ + (1-t)*AC→
　　 = (2t/5)*AB→ + (1-t)*AC→
一方、
AX→ = k*AE→
　　 = k*{(3/5)*AB→ + (2/5)*AC→}
よってk=10/19となり、
（ちなみにこれでAX:XE=10:9が示されたので、ここから幾何的に解いてもOKです。）
AX→ = (6/19)*AB→ + (4/19)*AC→
次に
AY→ = t*AB→ + (1-t)*AF→
　　 = t*AB→ + (3/5)*(1-t)*AC→
一方、
AY→ = k*AE→
　　 = k*{(3/5)*AB→ + (2/5)*AC→}
よってk=15/19となり、
AY→ = (9/19)*AB→ + (6/19)*AC→
次に
AZ→ = t*AD→ + (1-t)*AC→
　　 = (2t/5)*AB→ + (1-t)*AC→
一方、
AZ→ = s*AB→ + (1-s)*AF→
　　 = s*AB→ + (3/5)*(1-s)*AC→
よってt=10/19となり、
AZ→ = (4/19)*AB→ + (9/19)*AC→

さて、以上より
XY→ = AY→ - AX→
　　 = (3/19)*AB→ + (2/19)*AC→
XZ→ = AZ→ - AX→
　　 = (-2/19)*AB→ + (5/19)*AC→

さてΔXYZの面積を求めると、
ΔXYZ = (1/2)*|XY→ x XZ→|
= (1/2)*{(15+4)/19^2}*|AB→ x AC→|
= (1/19)*(1/2)*|AB→ x AC→|
= (1/19)*ΔABC
よって、ΔABC：ΔXYZ＝１９：１

お礼

２とおりの解き方を教えていただきありがとうございました。両方ともよくわかりました。またいろいろと教えてください。

回答No.2

slackware

こんな感じになりました.
# 解答方針はあっていると思うのですが、
# あまり答えに自信はありません.

三角形ABC の各辺を 2:3 に内分する点を D、E、F
とします.
(AD:DB = BE:EC = CF:FC = 2:3)
線分CD と 線分AE の交わる点を X
線分BF と 線分AE の交わる点を Y
線分BF と 線分CD の交わる点を Z

==

点E より 線分CD に平行な線を引き、線分 AB と
交わる点を G とします.

AD:DB = 2:3 --- (1)
BE:EC = 2:3 より
BG:GD = 2:3 --- (2)
(1)、(2)より AD:DG = 10:9 となる.
また、AX:XE=10:9

三角形AECの面積は三角形ABCの3/5
三角形AXCの面積は三角形AECの10/19
よって、三角形AXCの面積は三角形ABCの6/19

同様に、三角形BZC、三角形AYBの面積もわかるので、
三角形ABCから、三角形XYZを除いた部分の
面積は、三角形ABCの面積の18/19 となる.

よって、三角形XYZは三角形ABCの 1/19 となる.

==

以上.

お礼

比を使ったときかたがよくわかりました。また何かわからないことがあったら教えてください。

回答No.1

tukitosan

ベクトルを使って解いてよいのでしょうか。
それとも、昔ながらの幾何学での解法がほしいのでしょうか。

上の意味がわかりずらければ、対象学年（小６、中２、高３など）を書いて下さい。

補足をお願いします。
tukitosan でした。

補足

ベクトルを使ってもかまいません。あとは比を使うとできそうな気がしますが・・・もし解き方をいくつか知っていたら是非教えてください。