ビュフォンの針

質問

問
十分に広い紙に間隔Lで平行線を引き、そこに長さLの針を無作為に落とす。
針は必ず倒れるものとし、また、針と平行線の太さは無視できるとする。
針と線が交わる確率を解析的に求めよ。

解答
針の長さをA、平行線の間隔をB、A/B≡Rとする。
平行線からの針の中心Cからの距離をx、平行線の垂直方向と針のなす角をθとする。
針が平行線と交わる条件は
　　　x≦Acosθ/2…※
である。対称性から針の中心xは(0,A/2)の一様分布、θは(0,B/2)の一様分布と考えられる。
上のxとθを座標に取りその範囲の長方形の面積ををΩとし、※の面積をΣとすると、確率Pは
　　　P=Σ/Ω
で与えられる。従って、
Σ=int(0→π/2) Acosθ/2 dx=A/2
Ω=π/2*B/2=πB/4
　　　∴P=2R/π
となる。ここで、A=B だから、
　　　P=2/π

となります。※までは理解できるのですがそれ以降が釈然としません。
またA≠Bの時はどうなりますか?
Aが大きすぎると確率が1以上になってしまいます。
解説できる方お願いします。以下の本に図も載っています。
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演習　大学院入試問題集　数学(2)(サイエンス社)　P174
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回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

No.2の回答の図がどうも余りよくありませんでした．
cos 曲線が θ=π/2 でゼロになっていませんでした．
曲線は描けないのでどこかでボロが出るのですが，
下のようにすればもう少しましですね．
斜線は cos 曲線のつもり．
＊の部分がΣです．

○ B > A の場合
　　　　ｘ
　　　　│
　Ｂ／２├────────┐
　　　　│　　　　　　　　│
　　　　│　　　　　　　　│
　Ａ／２│　　　　　　　　│
　　　　│＼　　　　　　　│
　　　　│＊＼　　　　　　│
　　　　│＊＊＼　　　　　│
　　　　│＊＊＊＼　　　　│
　　　　│＊＊＊＊＼　　　│
　　　　│＊＊＊＊＊＼　　│
　　　　│＊＊＊＊＊＊＼　│
　　　　│＊＊＊＊＊＊＊＼│
　　　　└────────┴──θ
　　　０　　　　　　　　π／２

○ A > B の場合
　　　　ｘ
　　　　│　　　　　　　　
　Ａ／２│　　　　　　　　
　　　　│＼　　　　　　　
　　　　│　＼　　　　　　
　　　　│　　＼　　　　　
　Ｂ／２├────────┐
　　　　│＊＊＊＊＼　　　│
　　　　│＊＊＊＊＊＼　　│
　　　　│＊＊＊＊＊＊＼　│
　　　　│＊＊＊＊＊＊＊＼│
　　　　└────────┴──θ
　　　０　　　　Θ　　　π／２

それから，
A < B，すなわち R < 1 ならこれでＯＫです，
と書いたのは P = P=2R/π でＯＫという意味です．

お礼

ありがとうございました。
大変よくわかりました。

回答No.2

siegmund

A < B，すなわち R < 1 ならこれでＯＫです．
A > B，すなわち R > 1 ならちょっと様相が異なります．

図を描いてみれば簡単です．
Ωの方は幅 π/2， 高さ B/2 の長方形ですね．
Σの方は x = (A/2) cosθの下側の面積です．
θ=0 のとき x = A/2 ですから，
A<B のときは cos 曲線はすっぽりΩの中に含まれています．
図では cos 曲線が描けないので斜線で代用してあります．
Σは＊の部分の面積

　　　　ｘ
　　　　│
　　　　│
　Ｂ／２├──────────┐
　　　　│　　　　　　　　　　│
　Ａ／２│　　　　　　　　　　│
　　　　│＼　　　　　　　　　│
　　　　│＊＼　　　　　　　　│
　　　　│＊＊＼　　　　　　　│
　　　　└──────────┴──θ
　　　　　　　　　　　　　　π／２

ところが A>B ですと，θがある値までは cos 曲線の方が長方形より上にあります．

　　　　ｘ
　Ａ／２│
　　　　│＼
　　　　│　＼
　Ｂ／２├──────────┐
　　　　│＊＊＊＼　　　　　　│
　　　　│＊＊＊＊＼　　　　　│
　　　　│＊＊＊＊＊＼　　　　│
　　　　│＊＊＊＊＊＊＼　　　│
　　　　│＊＊＊＊＊＊＊＼　　│
　　　　└──────────┴──θ
　　　　　　　　　　　　　　π／２

cos 曲線とx=B/2 が交わるθの値をΘとして
Σ = (B/2)Θ + (A/2)∫{Θ～π/2} cosθ dθ
　 = (B/2)Θ + (A/2)(1-sinΘ)
　 = (B/2)Θ + (A/2){1-(1/A)√(A^2-B^2)}
ですから
P = Σ/Ω
　= (2/π){Θ + (1/B)[A-√(A^2-B^2)]}
になります．
R→∞ なら，Θ→π/2 で，上の式の{　}の第２項がゼロになりますから
めでたく P→1 というわけです．

ミスプリントなどあるかもしれませんので，チェックもよろしく．

回答No.1

tiezo-

0<A<=Bのとき
横軸をθ、縦軸をｘとしグラフを書きます
ｘの範囲は（0、B/2）　θの範囲は（0、Π/2）
標本空間Ωは、この範囲の面積で横　Π/2、縦　B/2
よって、Ω＝ΠB/4
針が平行線と交わるときΣは、ｘ<=（A/2）cosθ を満たす部分の面積
わかり易くすると、y=(A/2)cosθとθ軸で囲まれた部分の面積　
　ただし、0＜θ＜Π/2
よって、Σ＝int(0-Π/2)(A/2)cosθdθ=A/2
確率P=(交わるとき)/(全体)
=Σ/Ω
=(cosのグラフの面積)/(長方形の面積)
=(2A)/(BΠ)
また、A＞Bのときは、平行線と二回交わる場合があるので
また別の議論になると思います

お礼

ありがとうございました。