x=0.9999・・・がx=1である事の証明

質問

X=0.9999・・・がx=1である事を証明するために、
両辺に10をかけ
10x=9.9999・・・としたものから
-) x=0.9999・・・を引くと
--------------------
9x=9
x=1
とする方法がありますが
なぜ、こうなるのか？を中学生にどうやって説明すれば良いのでしょう？教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.19

kooc

少しわかりずらいかもしれませんが、0.999…の定義は９が無限に続くことです。もし、1＞0.999…だとすると、0.999…の9が1の手前で止まることになります。
そうすると、0.999…の定義が矛盾するので1＝0.999…を認めざるを得ません。

回答No.18

newtype

0.9999…＝1
実数は連続しているのです。
もし、無限に１に近づいていく左辺が右辺と異なるとすると、そこに穴があいてしまい、連続性の仮定に反する。よって、実数の連続性を保持するためには上記二通りの記述方法をともに等しいとして認める必要がある。
オイラーの贈物という本の受け売りです。

回答No.17

stomachman

osafuneさんごめんなさい。

tun様＜
５６億７千万桁... 弥勒菩薩にとっては大した桁数じゃないですねえ。大きい数に付いては下記URLをまたまたご紹介します。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=21195

回答No.16

tun

stomachmanさんに紹介してもらって、のぞかせてもらいました。
私も、これには、２０年来悩まされているので。
１＝0.9999…、をみなさん証明されているのは、よくわかるのですが。
実は、私はこれは違うものなんじゃないか（そう思う方がいっぱいいるから議論になるんでしょ）と思うので、どなたか「これは違う！」って証明をしてもらえないでしょうかね。
だって、１＝0.99999…　の右辺を５６億７千万桁まで計算して、プリントアウトしてごらんなさい。左辺は１で済むのに、右辺は、インクなくなっちゃいますよ。経済的に見ても、イコールじゃないと思うんですが。

回答No.15

Naka

◆Naka◆
何度も失礼します。
stomachmanさん、怒っているだなんてとんでもない。
stomachmanさんの過去の回答も見させていただいていますから、自分よりもはるかに実力のある方だということは認識していますので。 (^o^)

私はイメージ的に「無限」の概念をつかませるのが効果的だと考えたわけでして、目的には大きな差はないと思います。
ただ手段の違いで、stomachmanさんは「数学屋さん」、私は「教育屋」ですから、厳密な意味での「真理」よりも、頭の中でイメージできる「こじつけ」の方を選んでしまうのです。

確かに解法を見て感動するような生徒は、伸びますし、数学の面白さというものを実感できるでしょう。stomachmanさんもそのお一人だったわけですよね？？
でもやっぱり全ての中学生に納得してもらえるものでない、という点で、私はイメージの方を取ると思います。

もう一つイメージの例を挙げておきますね。
0.00000000000…=0 を実感させる方法です。
「みんな、声を出して『ア』と言ってごらん。」
「ア！」
「もっと小さい声で」
「ア」
「もっともっと小さい声で」
「ァ」
「もっとだ！」
「．」
「もっともっと…」
「.」
「まだまだ」
「」
・・・・・・
「それでも『声を出している』と言えるかい？」
「言えな～い！」

私のやり方は、一時が万事、こんな感じなんです。 (^o^)丿

回答No.14

stomachman

osafuneさんのコメントがこないのをいいことに、勝手に議論しますが...（Nakaさん怒んないでぇー）(^^;
無限小数は、最初に本格的に無限の概念に出会う場。
　（ことに小学校で円周率を「およそ３」で済ませてきたのなら、）初めて無限と避けがたく対面するんですから、いろんな考え方を試してみる事自体が、一番効果的な教育なのかな、と思ってます。
計算が延々と終わらない、ということを実感させてこそ意味があるじゃないかと。
ともかく
「0.999... はきっちり 1 なのっ！ほらっ！9 x = 9 だからっ！憶えなさいっ！！」
てやったら、もったいないな～と。

実はstomachmanもこれ、教室で教えて貰った覚えがあります。クラスの半分ぐらいが、おおー！！と感動し、あとの半分が首をひねった（理解はしたが、納得できん）ように思います。

回答No.13

noname#4486

皆さん、面白い議論だと思います。
勉強になります。

ところで、質問主の osafune さんの「なぜ」についてですが、
・1/3*3=1
・1-0.9999999...=0.000000....
に蛇足になりますが、
有限な等比数列の和の計算から持っていくのはいかがでしょうか。（0.99999... は無限等比級数）

S = 1 + x + x^2 + x^3 +...+ x^n
-) xS = x + x^2 + x^3 +...+ x^n + x^(n+1)
-----------------------------------------
(1-x)S = 1 - x^(n+1)

「極限」が「存在」することをうやむやにすることになりますが、
この右辺第二項が存在しないことが「無限」であるがゆえであることは、イメージしやすいのではないかと思いますがいかがでしょうか。
有限から無限に持っていけば分かりやすいのではないかと思ったのですが。

でも、多対一の教室では辛いかなぁ。

追伸；
ところで、 1=0.9999999999... は、存在することを認めれば厳密であって、近似ではないんですけどね。

回答No.12

Naka

◆Naka◆
stomachmanさん、その通りですよ。
ですから、私は無限のイメージを与える例として「時間」を挙げたわけです。
不良債権の話はギャグにしておきましょうよ。stomachmanさんだって、私たちの回答を採点しているおつもりではないでしょう？？
大事なのはイメージです。
イメージっていうのは、例え話からつかませるのが一番わかりやすいと思います。
その中学生が将来、数学を好きになるためには、「真理をおぼろげにつかませる」ことよりも、「『真理に近いもの』をちゃんと理解させる」方が効果的だと考えています。

まあ、ここで答えを出すのは私たちではなく、osafuneさんであり、中学生なんですが… (^^;)

回答No.11

stomachman

Nakaさん、ieyasuさん＜
不良債権の話は、単なるギャグじゃないんですよ。

「無限」ならではの、いつまで経っても終わらないプロセス、というつかみ所のないものを、
10 x - x = 9
で一発で処理する所にこそ、数学の醍醐味があります。これを中学生に感じ取らせることは、決してくだらないことではないと思います。

お礼

お礼遅れてすみませんでした。
＞で一発で処理する所にこそ、数学の醍醐味があります。
うんうん。そうですよね。
自分が中学生の頃、誰が一番ち○ちんが太いか競争しようとした事があったんですが、誰もメジャーを持っておらず中止になりかけてました。その時ある人物が「定規で直径を測ってそれに3.14をかけたら円周がでる」と発見した奴がいて、無事解決できました。
この時は目からウロコが落ちました。

回答No.10

Naka

◆Naka◆
再登場です。
なるほど～、stomachmanさん、一本取られました。 (^o^)
損金と不良債権じゃ確かに違いますね。

それじゃあ、その中学生に実際に「１」から「0.999999999999…」を引き算させてみましょう。
「１-0.999999999999999…=0.000000000000000…」
「ほら！０じゃないか！差がないんだから同じ数だ！」
これでいかがでしょう？？
ieyasuさんのおっしゃるように、強引に真理を理解させる必要もないでしょう。

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません。
＞「１-0.999999999999999…=0.000000000000000…」
これ、解り易いですね。参考にさせていただきます。
回答ありがとうございました。