小中学校で習う「1=0.999…」の証明

質問

小中学校では一般に、「1=0.999…」を次のようにして示す。
[1]
　　1/3 = 0.333…

　両辺に3を掛けて

　　1 = 0.999…

[2]
　x = 0.999…　…(1)　とし、両辺に10を掛けると

　　10x = 9.999…　…(2)

　(2)-(1)より　9x = 9

　よって、　x = 1

上記の証明は厳密性を欠くようだが、具体的にどこが曖昧なのか？

回答No.3

k14i12d · ベストアンサー

1/3=0.333・・・
右辺の3が永遠に続くと証明していないのでは？

0.999・・・同様に、永遠に続く場合のこの数自体が定義されていないのでは？
つまり、高校に行けば、無限等比級数の和の収束値として定義できるけど、ただ漠然と0.999・・・と出されても、この数自体がどのような数なのか、正体不明ということ。
だから、9.999・・・-0.9999・・・=9となるかはわからないということじゃないかな。

つまり、無限の概念が導入されていない状態なのに、無限の和どうしの演算を安直に行いすぎているということだと思います。

回答No.6

noname#190065

質問no.8238662の some1986さんのに、ご質問のような回答をしてしまった者です。証明する力量はありませんが、循環小数を分数に直せるテクニックとして理解しています。
　ウィキペディアに興味深い記事があります。「厳密性を欠くようだ」との解決になればと思います。　
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0

回答No.5

alice_44

算数に厳密さを求めても、ねえ。
証明以前に、「0.9999…」という記号の意味を
定義せずに、いきなり計算し始めてるとこが、
厳密じゃない というか、数学じゃない。

回答No.4

srafp

１／３は、どこまで行っても割り切れない
　　↓
「０．３・・・３」と、「余り０．０・・・１」と言う状態
　　↓
一方、『９Ｘ＝９』による証明は、この「余り０．０・・・１」を無視しているわけではないが、教えている教師や教わっている生徒の一部は「０．３・・・３［割切れている］の３倍は０．９・・・９」と考えてしまい、「余り０．０・・・１」を無視しているから、モヤモヤしてしまう。

回答No.2

asuncion

[1]に書いてあることを証明したいわけで、
[2]の記述だけで十分ですね。厳密な証明です。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞上記の証明は厳密性を欠くようだが、具体的にどこが曖昧なのか？

「１０進数の世界では」と言う条件付けが抜けているのが「曖昧」の原因です。

１０進数以外の世界では「１／３が有限小数になる世界もある」のです。

例えば、３進数の世界では「１０進数の１／３」は「３進数の１／１０」ですから「３進数の０．１」になってしまいます。