高校数学の確率（条件的確率）の問題です。

質問

私は順列・組合せ・確率の問題を大の苦手にしており、文章をちょっとでもひねられるとまったくお手上げになってしまいます。この例でも何かすごい勘違いをしていそうな気がするので、わかりやすい説明をお願いします。

【問 1】
　区別のつかない 2 つのサイコロを同時に振る。一方のサイコロの出た目が 3 であることが分かったとき、他方のサイコロの出た目が 2 である確率を求める。

　一方のサイコロの出た目が 3 である場合の数は
　　(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
　　(1,3), (2,3), (4,3), (5,3), (6,3)
の11通り。このうち他方のサイコロの出た目が 2 である場合の数は
　　(3,2), (2,3)
の 2 通り。
　よって求める確率は 2/11.

【問 2】
　大小 2 つのサイコロを同時に振る。一方のサイコロの出た目が 3 であることが分かったとき、他方のサイコロの出た目が 2 である確率を求める。

　大のサイコロの出た目が 3 であることが分かったとき、小のサイコロの出た目が 2 である確率は 1/6。
　小のサイコロの出た目が 3 であることが分かったとき、大のサイコロの出た目が 2 である確率は 1/6。
　よって求める確率は 1/6 + 1/6 = 1/3.

　まずこれは正しいでしょうか？　あるいは問題文自体に過ちはないのでしょうか？　もし正しいとしたら
　【例 1】2つのサイコロを区別しない
　【例 2】2つのサイコロを区別している
ということになり、
　　確率の問題ではすべて区別する（この問題の場合はサイコロを区別する）
という原則に反します。これはどういうことなのでしょうか？

回答No.3

MagicianKuma · ベストアンサー

>確率を足すことができる場合というのは互いに排反な事象の確率であるということと関係あるとは思うのですが
その通りです。大3小2の事象と小3大2の事象そのものは排反ですのでこれらの起こる確率というのなら足しても良いのですが、
大3が出たという条件と小3が出たという条件というのは排反ではありません。(3,3)という事象は条件としてはどっちも満たすからです。
なので、一方が3という条件下(11通り)＝大3が出たという条件下(6通り)＋小3が出たという条件下(6通り)とはなりません。
正しくは、一方が3という条件下(11通り)＝大3が出たという条件下(6通り)＋(小3が出た＆大3は出ない)という条件下(5通り)　としなければなりません。
なのでややこしいことを考えず、例１のように全て列挙して考えれば良いと言うことです。

回答No.4

MagicianKuma

【追伸】
一方が3という条件下(11通り)＝大3が出たという条件下(6通り)＋(小3が出た＆大３は出ない)という条件下(5通り)　
と考えても、それぞれの条件下の元で求めた確率を足せるわけではありません。

お礼

懇切丁寧な解説誠にありがとうございました。とてもよくわかりました。心から感謝いたします。
　本当にありがとうございました。

回答No.2

MagicianKuma

>まずこれは正しいでしょうか？
間違っています。
「大のサイコロの出た目が 3 であることが分かったときの小のサイコロの出た目が 2 である確率」と
「小のサイコロの出た目が 3 であることが分かったときの大のサイコロの出た目が 2 である確率」を足して
「一方のサイコロの出た目が 3 であることが分かったときの他方のサイコロの出た目が 2 である確率確率」と考えること自体が間違っています。
例を変えてみましょうか？
「大のサイコロの出た目が 3であることが分かったとき小のサイコロの出た目が 偶数である確率=1/2」
「小のサイコロの出た目が 3であることが分かったとき大のサイコロの出た目が 偶数である確率=1/2」
「一方のサイコロの出た目が 3 であることが分かったときの他方のサイコロの出た目が偶数である確率 =1/2+1/2=1」
明らかにおかしいでしょう？

>【例 1】2つのサイコロを区別しない
上記のようにおっしゃっていますが、例1の求め方は(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),(1,3), (2,3), (4,3), (5,3), (6,3)を列挙してあり、(3,1)と(1,3)を区別しています。
ようするにちゃんとサイコロを区別しているのですよ。例2は区別するしないと言うより条件付きと言うことの考え方を勘違いされています。

補足

ありがとうございます。
　まず【例 1】は実際にサイコロを区別しているということはとてもよくわかりました。【例 2】もご指摘の例ではおかしなことはすぐわかります。
　ということは【例 2】の解答も結局【例 1】と同じでいいわけですよね。

　あとできたら
> 例2は区別するしないと言うより条件付きと言うことの考え方を勘違いされています。
をもう少し詳しく説明していただきたいのですが。確率を足すことができる場合というのは互いに排反な事象の確率であるということと関係あるとは思うのですが、その辺がまだしっかり理解できていません。

回答No.1

weboner

>一方のサイコロの出た目が 3 であることが分かったとき

1個のサイコロを振って2が出る確率1/6
片方が2でない以上、サイコロの目が2となる確率はともに1/6です