高校受験の確率の問題で・・・

質問

高校受験の確率の問題を解いていて、疑問に思ったところがあったので質問したいと思います。問題は以下の通りです。

「1コのサイコロを繰り返し投げて、前の回までに出た目と同じ目が出たら終わりになるゲームがある。ちょうど3回投げたときにゲームが終わる確率を求めなさい」

樹形図を書いて考えたところ、3回投げたときにゲームが終わるのは全部で60通りあることがわかりました。

ここまでは良いのですが、確率を求める部分がよくわかりません。

解説には、「サイコロの目の出方は、6×6×6＝216通りだから
確率は60/216＝5/18」と書いてあります。

なぜ、216通りなのでしょうか？？
サイコロを3回投げる、という操作を行うには、2回目を投げた時にゲームが終わってはいけないため、全体で186通りになると思うのですが・・・

わかる方がおられましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

hiro1122 · ベストアンサー

樹形図のそれぞれが起こる確率は 1/216 だからです。
例えば、１，２，２と出る確率は
1/6×1/6×1/6＝1/216 です。
これらが６０通りあるので、
60×1/216＝60/216　という計算になります。
樹形図のそれぞれは排反事象（同時には起こらない事象）なので、その６０通りのいずれかが起こる確率はそれぞれが起こる確率の和で求まります。全部同じだから６０を掛けることになります。

#2さんのような解答が出来ると楽になるでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど・・・216を分母にもってくる理由がわかりました。
それぞれの確率が1/216だから、それの60通りぶんの和を求めているのですね。確率の基本を学んだような気がします。ありがとうございました！

回答No.4

zyunyu

それは、確率の前提がわかってないためにそう思うのでしょう。
確率とは、全事象の中のある特定の事象が起こる割合を表します。
つまり、サイコロを振ってでる全部の目の通り数が全事象で、有る特定の事象が今回の問題の答えの通り数です。
よって、6×6×6は、細かく言えば、1回目に1の目が出た場合に2回目に出る目の通り数は6通り更に、2回目で出る目が3ならば、3回目に出る目の通り数も6通りなので全部の出る目の通り数は6×6×6となると言うことです。樹形図を描いてみれば最初の出目が決まると枝が6×6個出るでしょう。結局は樹形図の集計をしていることと同じです。
更に、この問題の通り数も解こうと思えば、計算で解くことができます。
まず、最初に出る目の数は制限がないため6通り。
2番目に出る目は最初の目と同じだとそこで終わるので、それ以外の5通り。更に、3番目では必ず1番2番のどれかと同じ目が出なければならないので、1番目2番目の数字の2通りとなる。
それぞれ順繰りに樹形図を描いていくと結局、最初の数字6個に5個の枝が付いて、更に5個の数字から最初に選んだ数字と2番目の数字の2個の枝が出ることになり、集計するときに、6×5×2通りとなる。
樹形図を利用するポイントは、このような性質に気づくことで、いちいち樹形図を最後まで描かなくても、問題のケースによってこの集計方法で解けるようになることにある。
てことで、この集計パターンがどういう場合に使えるのかを理解することがレベルＵＰに繋がると思うよ。
では、がんばって。

お礼

ご回答ありがとうございます。
樹形図を上手く使いこなすことが重要なのですね。
問題を解いて練習したいと思います。
ありがとうございました！

回答No.3

postro

２回でゲームが終わったとしても、ともかく３回投げる。
と考えればわかりやすいです。
「ちょうど３回では終わらない」の中には、
「２回で終わってしまう。」と、
「３回でもまだ終わらない。」の２種類が含まれていて、
２１６通りの中の、２１６－６０＝１５６通りの中に
その２種類が入っています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど・・・２回でゲームが終わったとしても、ともかく３回投げるということなのですね。
よくわかりました。ありがとうございました！

回答No.2

ojasve

ついでにとき方ですが、樹形図でも良いのですが、慣れるとこうやって解けます。
まず、最初の目は何でもよい。２回で終わらないために、２回目は、最初の目と違うもの、つまり５／６の確率の目が必要。

３回目は、終わるために、１回目、または２回目と同じもの、つまり２／６の確率で出て欲しい。

１×5/6×2/6＝5/18です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
樹形図を使わなくてもできるのですね。
このような解き方も身につけたいと思います。
ありがとうございました！

回答No.1

ojasve

確率の問題ですから、全ての場合が分母になります。
当然２回目を投げたときにゲームが終わる場合も含めます。
いつゲームが終わるかを考えずに、分母を考えれば、２１６通りとなります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
3回投げたときにゲームが終わらない場合＝２回目を投げたときにゲームが終わる場合＋4回目以降にゲームが終わる場合ということですね。わかりました。ありがとうございました！