どうすればいいのか分かりません

質問

実数 x，y　について　I=∫(0～2π) （x cosθ＋ y sinθ－θ)^2 dθ　とするとき、Iを最小にするx,yの値とそのときのIの値を求めよ　という問題があるのですが、どうすれば良いか分かりません。一応（x cosθ＋ y sinθ－θ)^2を展開してx^2 (cosθ)^2＋y^2（sinθ)^2＋2xycosθsinθ－2θxcosθ－2θysinθ＋θ^2　にしてθで積分してみようと思ったのですが、∫(0～2π)(cosθ)^2 dθができません(問題に関係あるのか分かりませんが)．
最小値なので微分して0になる点を見つけるような気がするんですが…

回答No.2

tiezo- · ベストアンサー

計算すると
I=πx^2+πy^2+4πy+(8/3)π^3
となり
I=πx^2+π(y+2)^2+(8/3)π^3-4π
と変形し、ｘ、ｙが実数であることにより
　最小値は x=0 , y=-2 のとき
　(8/3)π^3-4π となります。
計算は、自信がありませんが
考え方は、こうだと思います。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.1

tiezo-

倍角・半角の公式を用いて
　(cosθ)^2=(1+cos2θ)/2
(sinθ)^2=(1-cos2θ)/2
2sinθcosθ=sin2θ
とし、積分をすれば答えが見えてきますね。
あとは、ｘｙに関しての二次式です。

補足

ありがとうございます。
積分してみると、
I=(x^2/2)∫(0～2π)1+cos2θdθ＋(y^2／2)∫(0～2π)1－cos2θdθ＋xy∫(0～2π)sin2θdθ－x∫(0～2π)θcosθdθ－y∫(0～2π)θsinθdθ＋∫θ^2dθ
=(x^2/2)[θ](0～2π)+(x^2/2)[(1/2)sin2θ](0～2π)+(y^2/2)[θ](0～2π)－(y＾2/2)[(1/2)sin2θ](0～2π)+xy[(-1/2)cos2θ](0～2π)-x[θsinθ](0～2π)+x∫(0～2π)sinθdθ+y[θcosθ](0～2π)-∫(0～2π)cosθdθ+[(1/3)θ^3](0～2π)
=π x^2＋π y^2＋2πy＋(8 π^3)/3
となりましたが、変数がx,y２つあるのでこの後どうすれば良いか分かりません。
また答えにはx=0,y=-2のときI=(8/3)π^3-4πとなっているのですが、上の式に代入してみても合いません。計算ももう一度してみましたが間違いはみつかりません。どうすれば良いでしょうか？どなたか教えて下さい。