対称群はなぜそう呼ばれるのですか？

質問

群について勉強しようとすると、割とはじめの段階で「対称群」と呼ばれる実例がでてきます。

つきましては、その名称の「対称」ということについて、この群のどこいらへんが、どのように「対称」であるのか、教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

対称群のことを置換群と呼ぶこともあります。こちらの呼び方の方が意味が解りやすいでしょう。なぜなら置換の全体を置換群と呼んでいるだけだから。

問題の対称群ですが、交代群との対応で考えると、対称式に作用する群という意味で対称群と呼んでいるのだと思われます。たとえばn次の対称式は任意の文字の入れ替えにおいて不変ですが、その可能な文字の入れ替え全体がn次対称群を成す、と考えるわけです。もちろんその部分群も対称式を不変とするので、任意のn次の対称式に不変に作用する最大の群という感覚でしょうか。交代群であれば、任意のn次交代式に不変に作用する最大の群という感覚だと思います。群自体の対称性を言及して、「対称」の名が冠せられているわけではないと思います。

お礼

ありがとうございます。
対称とは、まず、線対称とか点対称とかの意味だったと思います。
それの意味が、ある変換に関して不変である性質、に拡張され、
それが、
式に作用する対称群で不変な式が対称式
と呼ばれるようになったという認識です。
つまり、
対称群と対称式
という用語は、ほぼ同時にそう呼ばれるようになったという認識です。