コンデンサーと静電容量

質問

幅ｌ面積Sの2枚の導体板があり、その両端の距離はｄとd+Δdなのですが、どのように考えたらいいのでしょうか。

Δxごとに区切るらしいのですが、誘導の仕方が分かりません。

平行なものは暗記してましたから・・・。

回答No.2

noname#21219 · ベストアンサー

＜＜dCがどうしてdC=(εaΔx/cosθ)/(d＋2xtanθ)
になるのか

コンデンサーの容量の公式は、C=εS/d
ですよね。その公式を、切り取った微小（薄い？）部分に適用してやればいいのです。

まず、微小コンデンサーの面積：xとΔxの間にある
薄型コンデンサーの面積がわからないということですが、とりあえずはっきりさせておくことは、
『幅ｌ面積Sの2枚の導体板』という条件が与えられてることを使うことです。幅(横の長さ）がlで面積が
Sなら、コンデンサーの縦の長さはS/lです。

仮にコンデンサーが"幅l"にそって開いているとします。すると、薄型の面積は、"微小の幅"はΔx/cosθ
で、奥行きの長さがa=S/lだから、dS=aΔx/cosθです。
”微小の幅”は別にΔxとしても、ほとんど同じなのですが、わずかに平行から開いているので、斜めになっていることを考慮しているのです。とにかく、この部分で既に「Δx」という項がでてきましたから、
もうΔxが現れる必要はないのです。積分するということは、微小な値を加え合わせるということです。ある物理量の微小な値dCをdC=Kdxという形にとにかくもって行き、あとは∫dC=∫Kdxしようというのが狙いですから。
薄型コンデンサー間の距離ですが、左端がdで右端がd＋Δdで、上下対称に開いています。距離xの所では、まずd,それプラス"ズレ"です。上の部分のズレは
xtanθです。下の部分とあわせて2xtanθがズレです。

でも確かに、d＋2xθとしてもかまわないと思います。いずれにせよ、その場合
近似を使う必要はあります。θは、コンデンサーがわずかしか開いていないので、θ《1です。こういう場合
cosθ≒1, θ≒tanθ≒sinθが成り立ちます。
この例では、すぐに値が出てくるのはsinθしかありません。sinθ=l/(Δd/2)。
結局dC=εaΔx/（d＋2xsinθ）というのを、xについて
積分すればいいのです。x=0～lcosθ≒0～lです。
結果は♯1と同じになります。

お礼

非常に分かりやすい内容の説明でした。
ありがとうございました

ついでなんですけれども、
記述式の答案であった場合、厳密に求めた方が
いいのでしょうか？
私はよくいきなり近似をしてしまうことが
あるのですが。（計算が楽なので）

回答No.3

noname#21219

問題が与えられている場合、大抵は
近似を使えという何らかの（d<<1など）
指示があると思います。そういう場合
もちろん即座に近似を行うべきです。

この問題の場合、Δdという表記です。これは近似
を使っていいと解釈したほうがいいです。もし普通
の大きさに開いているなら、両端の距離はdとf
とかdとd＋Lとかになると思います。

お礼

ありがとうございます。これで多少ごまかせるところはごまかせます。

回答No.1

noname#21219

コンデンサーを真上から見たとき
右に向かってわずかに上下対称に開いている
ということだと思いますが、並列の場合のコンデンサーの合成容量は、ただ足すだけです。この場合も
足す（積分する）ことで『合成容量』つまり全体の
コンデンサー容量を求めると思います。

まず真上から見たとき、横方向にxをとります。
左端では、コンデンサー間距離d,右端でd＋Δd,
それで、距離xにおいて、幅～Δx
の、紙面に垂直方向に細長いコンデンサーを取ります。
この細長いコンデンサーの容量を求め、それをΔxについて積分します。近似を使っても同じ結果になりましたが、一応厳密に計算しときましょう。x方向と上のコンデンサーのなす角度をθとします。このとき、距離x
のところにある細長いコンデンサー間の距離は、
d＋2xtanθです。また、面積はaΔx/cosθ(a≡S/l)
です。よって、dC=(εaΔx/cosθ)/d＋2xtanθです。
これを積分します。cosθもtanθもすぐにはでてきませんが、定数なのでそのまま置いといて積分すると
∫dC(x=0～lcosθ)=εS/Δd・log(1＋Δd/d)となりました。sinθ=l/(Δd/2)だけはすぐに使えて、それが計算の途中でcosθとtanθが打ち消しあって出てきます。

補足

ありがとうございます。
答えはそうなるらしいのですが

積分の式を導くのが私は苦手でして、
どのように導いたらいいか分かりません。

そこで
ある点
ｘをとると距離はd+xθ
x+Δｘではd+（x+Δｘ）θ
のようにして考えられないでしょうか。
dCがどうしてdC=(εaΔx/cosθ)/d＋2xtanθ
になるのかよく分からないのです。
またxとx＋Δｘの面積もどのように表現したらいいか分からないですし・・・