平行板コンデンサーの静電エネルギーについてです。

質問

平行板コンデンサーの静電エネルギーについてです。
極板間の距離をdとして、＋に帯電する極板の電荷をQ１、電位をV21、ーに帯電する極板の電荷をQ２、電位をV12とします。
公式通りであれば、静電エネルギーU=(1/2)Q(V21-V12)=(1/2)Q^2/Cとなります。

しかし、U=qVを考えたときに、結果が等しくなるのでしょうか？
V21=k(Q2/d)なので、U=Q1V21=Q1k(Q2/d)
ただし、k=1/4πεとします。
コンデンサーなので、Q=Q1、-Q=Q2とします。
すると、U=-kQ^2/d=-Q^2/4πεd
これらを比較すると、C=εS/d=-2πεd ⇔ S=-2πd^2
このように、おかしな事になります。
どこを直したら結果が等しくなるのか、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

foobar · ベストアンサー

2点あります。
１．　U=qVは電位Vの点に電荷qを移動するときのエネルギーです。
電極に電荷を貯めていく過程を考えると、Vは電荷の移動によって変化するので、Qだけ電荷がたまった時のエネルギーは積分をして求める必要があります。（その際に、静電容量が必要になる。）

２．　U=(1/2)Q^2/Cとなるのは、＃１さんも書かれているとおり、正負の電極に極性が逆で等量の電荷がたまっているときです。
この時には、電極の外側には電界ができず、外側のエネルギーが0になっています。
両電極の電荷の総和が0でない（電荷の大きさが異なる）ときには電極の外側にも電界ができていて、そのエネルギーも加味する必要があります。

１．２．で、条件を合わせて計算すれば、同じ結果になります。
たとえば、両電極に逆極性で絶対値が同じ電荷を蓄えていくとすると、電極の中間点が電位0（無限遠と同じ電位）になります。
微小電荷dqを∞→中間点→電極、と移動するときのエネルギーを考えると、∞→中間点ではエネルギーは0、中間点から電極までがVdq、V=q/C0(C0は電極と中間の仮想電極間の静電容量）を考えると、電極がQの電荷を蓄えた時のエネルギーU１=∫qdq/C0=Q^2/(2C0)。
反対の電極も同様にU2=Q^2/2C0、両者の和U=U1+U2＝Q^2/C0。
電極間の静電容量CはC0二個の直列接続なので、C=C0/2から、U=Q^2/(2C)となり、通常のコンデンサのエネルギーと一致します。
（電極の中点が無限遠と同じ電位0になる、というところで無限遠から電位を使って計算したエネルギーと、コンデンサだけで計算したエネルギーが一致するのは明らかではありますが。）

お礼

丁寧な回答をありがとうございます。
電極の電位は、点電荷のような式では求められないんですね。
コンデンサーの静電エネルギーの事がよくわかりました。

回答No.2

noname#154783

すみません．ANo.1に

> この電場のみによる正極板の位置の電位は
> V' = E'd = Qd/(2εS).

という部分がありますが，この電位V'の基準位置は負極板です．

回答No.1

noname#154783

> ＋に帯電する極板の電荷をQ１、

> ーに帯電する極板の電荷をQ２、

とありますが，平行平板コンデンサでは向かい合う極板の電荷は，絶対値が同じで符号が逆になりますので，「+に帯電する極板の電荷をQ」とし，さらに，「2つの極板の電圧をV」とすると，静電エネルギーは

U = (1/2)QV

となります．このコンデンサの静電容量がCであれば，V = Q/Cなので
U = (1/2)Q^2/C
とも表せますし，Q = CVなので
U = (1/2)CV^2
とも表せます．

以上は飽くまで平行平板コンデンサの話で，電荷は両極版に平面上に分布しています．

> しかし、U=qVを考えたときに、結果が等しくなるのでしょうか？
> V21=k(Q2/d)なので、U=Q1V21=Q1k(Q2/d)
> ただし、k=1/4πεとします。

察するに，これはVとして点電荷qによる距離rの位置の電位（無限遠基準のクーロンポテンシャル）

V = kq/r

を用いて考えていませんか?

クーロンポテンシャルの式は飽くまで点電荷が作る電位の式なので，平行平板コンデンサのように電荷が平面上に分布している場合には使うことができません．

平行平板コンデンサの場合，極板間隔dが十分に小さいと考えられる場合には，極板間の電場Eは一様であり，負に帯電している極板から正に帯電している極板に向かう向きで，その大きさは

E = Q/(εS)

です（ガウスの法則を用いて導出可能）．この電場の半分は正の極板の正電荷が作ったもの，残り半分は負の極板の負電荷が作ったものです．

以下，負の極板が作る電場とか電位による正電荷の位置エネルギーとして静電エネルギーを求めます．

負電荷だけが作る電場は
E' = E/2 = Q/(2εS).

この電場のみによる正極板の位置の電位は
V' = E'd = Qd/(2εS).

したがって，静電エネルギーは
U = (+Q)V' = Q^2 d/(2εS).

この式とU = (1/2)Q^2/Cとを比較すると，

C = εS/d

が得られます．