相加・相乗平均は最小値を示すのでしょうか？
相加相乗平均の証明なのですが、高等学校の教科書には
a>=0, b>=0の時、(a+b)^2>=(2√ab)^2で
左辺－右辺＝a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>=0
と証明が書かれています。等号が成り立つのはa=bとなっています。
でも、相加相乗平均が最小値になるとはいえないと思うんですよ。
例えば (a+b)^2>=(√2ab)^2とします。
左辺－右辺＝a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2>=0となり
a+b>=√2abということも言えます。等号条件はa=b=0となります
。2√ab>√2abですから相加相乗平均が最小値には思えません。
しかし、2^X+2^(-X)の最小値を求めようとした時。相加相乗平均では2以上になりますが、先ほどの方法では√2以上になります。
ただし、2^Xも2^(-X)も0にはなりませんし、等号条件も成り立ちませんので先ほどの方法では間違っていると思えるのですが、根拠がわかりません。分かる方がいたら是非教えてください。
お礼
丁寧な解説、ありがとうございました。