そろばんと９の倍数

質問

大昔にそろばんをやっていたのですが、ずっと疑問に思っていたことがあります。
　見取算ってあるじゃないですか？あれの答えが５級より上の級になると、６,１２３，４５６のように各桁の数を全部たすと９の倍数になるって先生におしえてもらってその法則を使って、確かめをしていました。しかし、この法則はすべて、足し算のときにしか使えません。
　まったく、根拠を考えないで使っていたのですが、テキストの問題でも、本番の試験でも、答えが各桁の総和が９の倍数になるものでした。そのため各桁の総和が３５だったりすると、もう一度やり直しをしたりなど、かなり重宝していました。
　この方法は有名な法則なのですかね？なんでこのような現象が起きるのか分かる人がいたら教えてください。

回答No.3

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

もともと、「九去法」という検算の方法があって、それをふまえた問題を出すような規定があったそうですね。

「かつての日商（日本商工会議所）の珠算検定の見取算と伝票算では、各問題ごとに０～９までの数字をそれぞれ同じ回数ずつ使うという作問規定が存在していました。」（下記 URL から）ということで、０～９まで足すと４５（で９の倍数）それを何組作っても各桁の和は４５の倍数（つまり９の倍数）になります。

一方で、九去法とは足す数の各桁の和と、答えの各桁の和が等しくなるという検算方法ですが、これは、ある数の各桁の和は、その数を９で割ったあまりに等しいという性質に依存します。
つまり、９で割っていくら余るという余りだけを足して検算しているのと同じ事になります。

そして、各桁の和と、その数字を９で割ったあまりに等しいという性質は、１２３４を例にすれば、

1234 = 1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4
= 1 * (999 + 1) + 2 * (99 + 1) + 3 * ( 9 + 1) + 4
= 1 * 999 + 2 * 99 + 3 * 9 （ここまで９の倍数）
+ 1 * 1 + 2 * 1 + 3 * 1 + 4 （ここが各桁の和＝余り）
という仕掛けです。

参考URL：

http://albspa.web.infoseek.co.jp/albspa_abacus_spe07.html

お礼

解答ありがとうございます。
そろばんの問題にはそんな作成規定があったのですね！
その作成規定のせいで、僕みたいに確かめ算をして、答えが合っているかどうかが知れたわけですね。ずっとひっかかてた疑問が晴れました！ありがとうございました。

回答No.4

yoikagari

前の方がおっしゃっている通り、整数Nの各位の和が9の倍数ならNは9で割り切れることがいえます。…※

まず、Nが5桁の数字の場合に※を証明します。
このとき、N=10000a+1000b+100c+10d+eと書けます。
N=10000a+1000b+100c+10d+e=9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)
a+b+c+d+eは9の倍数だから、a+b+c+d+e=9kと書ける
したがって、9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)=9999a+999b+99c+9d+9k=9(1111a+111b+11c+d+k)
となるので、N=10000a+1000b+100c+10d+eは9で割り切れることがわかります。

よって、Nが5桁の数字の場合、※が正しいことが言えました。

一般にNがn+1桁の場合で※を示してみます
Nは、N=10^n*(a_n)+10^(n-1)*{a_(n-1)}+…+a_0と書けるので
N=10^n*(a_n)+10^(n-1)*{a_(n-1)}+…+a_0={10^n-1}(a_n)+{10^(n-1)-1}{a_(n-1)}+…(10-1)a_(n-1)+{a_n+a_(n-1)+…+a_0}=9…9*(a_n)+9…9*{a_(n-1)}+…+9{a_1}+{a_n+a_(n-1)+…+a_0}

a_n+a_(n-1)+…+a_0は9で割り切れるので、a_n+a_(n-1)+…+a_0=9Kと書ける。
よって
9…9*(a_n)+9…9*{a_(n-1)}+…+9(a_1)+{a_n+a_(n-1)+…+a_0}=9(1…1*(a_n)+1…1*{a_(n-1)+…+a_1}+K)
となるので、N=10^n*(a_n)+10^(n-1)*{a_(n-1)}+…+a_0は9で割り切れることがわかります。

よって、Nが何桁の数字であっても※が正しいことが言えました。

※は昔から知られた有名な倍数判定法です。

お礼

早急な解答ありがとうございます！
各桁の数の和が９の倍数になれば９の倍数なのですね。
初めて知りました。証明も容易に理解できました。
ありがとうございました。

回答No.2

poponponpo

９×aを計算して、桁が上がる時の変化を考えて見てください。

たとえば９から１８の時や、１８から２７の時には一の位が１減ると必ず上の位が１増えるようになっています。
９９から１０８の時や１９８から２０７の時にもうまく計算できるように桁上がりしています。

似たようなもので、３の倍数を同じように足すと一桁の３の倍数になりますよ。

お礼

早急な解答ありがとうございます！
各桁の数の和が９の倍数になれば９の倍数なのですね。
初めて知りました。証明も容易に理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

OsieteG00

有名な法則ですね。

同様に
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/multiple.htm#９の倍数

参考URL：

http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/qanda/01-05.html

お礼

早急な解答ありがとうございます！
各桁の数の和が９の倍数になれば９の倍数なのですね。
初めて知りました。証明も容易に理解できました。
ありがとうございました。