解析の問題だと思うのですが。

質問

（１）ｐ，ｑが自然数の時、B（ｐ、ｑ）を求めよ。但し、

　　　　　B（ｐ、ｑ）＝∫{０～１} ｔ＾（ｐ－１）＊（１－ｔ）＾ｑ－１ｄｔ
　　　である。
（２）次の等式を示せ。
　　　　　　　　　　B（ｐ、ｑ）＝Γ（ｐ）＊Γ（ｑ）／　Γ（ｐ＋ｑ）
回答の糸口すら見つかりません。どなたかお願いします。

回答No.7

KaitoTVGAMEKOZOU · ベストアンサー

｛ｔ^(ｐ)＊(１－ｔ)^(ｑ－１)｝’
＝ｐｔ^(ｐ－１)＊(１－ｔ)^(ｑ－１)－（ｑ－１）ｔ^(ｐ)＊(１－ｔ)^(ｑ－２)

両辺を、ｔで積分すると、
０＝ｐＢ(ｐ、ｑ)－(ｑ－１)Ｂ(ｐ＋１、ｑ－１)
⇔Ｂ(ｐ、ｑ)＝（ｑ－１／ｐ）Ｂ(ｐ＋１、ｑ－１)
　　　　　　＝（ｑ－１／ｐ）(ｑ－２／ｐ＋１)Ｂ(ｐ＋２、ｑ－２)
　　　　　　＝……
　　　　　　＝｛(ｑ－１)!(ｐ－１)！／(ｐ＋ｑ－２)!｝×Ｂ(ｐ＋ｑ－１、１)

さて、
Ｂ(ｐ＋ｑ－１、１)＝∫{０～１} ｔ＾（ｐ＋ｑ－２）ｄｔ
｛ｔ＾（ｐ＋ｑ－１）｝’＝ （ｐ＋ｑ－１）ｔ＾（ｐ＋ｑ－２）　より、
Ｂ(ｐ＋ｑ－１、１)＝１／（ｐ＋ｑ－１）

∴Ｂ(ｐ、ｑ)＝(ｑ－１)!(ｐ－１)！／(ｐ＋ｑ－２)!×{１／(ｐ＋ｑ－１)}
＝(ｑ－１)！(ｐ－１)！／(ｐ＋ｑ－１)!　　　　（１）

Γ(ｔ)＝∫{０～∞} ｅ^(－ｘ){ｘ^(ｔ－１)}ｄｘ （ｔ＞０）がガンマ関数である。
{ｅ^(－ｘ)(ｘ^ｔ)}’＝－ｅ^(－ｘ)(ｘ^ｔ)＋ｔｅ^(－ｘ){ｘ^(ｔ－１)}　より、両辺を０≦ｘ≦∞の範囲でｘで積分すると、
０＝－Γ(ｔ＋１)＋ｔΓ(ｔ)
⇔Γ(ｔ＋１)／Γ(ｔ)＝ｔ　　（∵０≦ｘのとき、０＜ｅ^(－ｘ){ｘ^(ｔ－１)}であるので、Γ(ｔ)＞０である）

ｔが自然数のとき、
Γ(２)／Γ(１)＝１，　Γ(３)／Γ(２)＝２，Γ(４)／Γ(３)＝３，…，　Γ(ｔ)／Γ(ｔ－１)＝ｔ－１より、
｛Γ(２)／Γ(１)｝×｛Γ(３)／Γ(２)｝×｛Γ(４)／Γ(３)｝×…×Γ(ｔ)／Γ(ｔ－１)＝(ｔ－１)！
⇔Γ(ｔ)／Γ(１)＝(ｔ－１)！　　
⇔Γ(ｔ)＝Γ(１)×(ｔ－１)！＝(ｔ－１)！∫{０～１} ｅ^(－ｘ)ｄｘ＝(ｔ－１)！　（２）

さて、　（１）と（２）より、
Ｂ(ｐ、ｑ)＝(ｑ－１)！(ｐ－１)！／(ｐ＋ｑ－１)!　　　　
　　　　　＝Γ(ｑ)・Γ(ｐ)／Γ（ｐ＋ｑ）

以上！高校生の計算練習問題としては上々じゃ。

お礼

ありがとうございます。これで何とか助かりそうです。

回答No.6

KaitoTVGAMEKOZOU

まだ閉じないところをみると、何か期待しているんですね。
２でsssoheiさんが部分積分の公式を丁寧に書かれていますが、これは見た目に美しくありませんよね。数学の公式は美しいものだけ覚えなくてはいけません。
部分積分の公式はだめですが、全体積分のテクニックは覚えておいてください。

たとえば、
∫ｘ^2sinｘｄｘ　　　を求めろといわれたら、

ｘ^2cosｘを微分すれば出てくる。
（ｘ^2cosｘ）’＝２ｘcosｘ－ｘ^2sinｘ　　　　　　　（１）

まだ２ｘcosｘが残っている。これはｘsinｘを微分してやれば出てくる。
（ｘsinｘ）’＝sinｘ＋ｘcosｘ　　　　　　　　　　　（２）

まだ、sinｘが残っている。これは、cosｘを微分してやればでてくる。
（cosｘ）’＝－sinｘ　　　　　　　　　　　　　　　　（３）　　　　　　　　　
よって、２×｛（２）＋（３）｝－（１）より、
２（cosｘ）’＋２（ｘsinｘ）’－（ｘ^2cosｘ）’＝ｘ^2sinｘ

である。あとは、両辺に∫ｄｘをつけてやれば、
∫ｘ^2sinｘｄｘ　＝２cosｘ＋２ｘsinｘ－ｘ^2cosｘ＋Ｃ　　（Ｃは積分定数）

はい出来上がり。やってることは微分の計算と連立方程式だけである。つまり、部分積分の公式はそれだけのことをわざわざもっともらしく書いてあるだけなのである。覚えるに値しないことがわかるでしょう。しかも計算が厄介である。

私の示した解法は積分を求めるにあたって、何を微分したら∫（～）ｄｘ　の中身の（～）が出てくるかを追求しただけです。そして、この考え方は重要で、微分積分は、概念は積分で、計算は微分で行なうから簡単になるということにつながる。わたしの解法は最後に積分記号をつけただけです。根幹は微分と連立方程式。しかもシンプルで美しい。そしてなにより、解法が楽だということです。
ためしに、
∫ｅ^ｘsinｘｄｘ　　と　　∫ｅ^xcosxｄｘ
を考えてみてください。これを部分積分でやると大変だと思いますよ。

回答No.5

tiezo-

ベータ関数の次の性質を用います
　　B(P,Q)=B(Q,P)
B(P+1,Q)=P/(P+Q)*B(P,Q)
B(P,Q+1)=Q/(P+Q)*B(P,Q)
Ｐ、Ｑが自然数より
B(P,Q)=(P-1)!*(Q-1)!/(P+Q-1)!

また　Ｐ、Ｑが自然数のとき　ガンマ関数は
Γ(P)=(P-1)! Γ(Q)=(Q-1)!
となり
B(P,Q)=Γ(P)*Γ(Q)/Γ(P+Q)

Ｐ、Ｑが整数でないときは
　　微積分の重積の計算です
　　Γ(P)*Γ(Q)を変換X=M(1-N) Y=MN して計算をするようです

お礼

ありがとうございました！こんなに短い回答になるのですね！

回答No.4

sssohei

> 2番
ΓはΓ関数（というのはよく分かってないのですが）Γ(z) = ∫{0～∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt らしいので、
それで(1)と同じように計算したら、一応、(1)と同じ答えを得ました。

お礼

ありがとうございます！
これで助かります。

回答No.3

KaitoTVGAMEKOZOU

でた～！
計算で迷うぐらいなら苦労はないっすよねぇ。私なんか（１／２）！求めろとかいわれましたよ。この計算だけで終わるのでしたら、ご自分でがんばってください。
それ以上を望むのなら、能力を示してください。

お礼

能力を示せと言われましても・・・。
とりあえず、これができないと進級できないので・・・・。
アドバイスありがとうございました。

回答No.2

sssohei

部分積分はOKでしょうか？

(fg)' = f'g + fg'
∴f'g = (fg)' - fg'
∴両辺を積分すると
∫f'g = fg - ∫fg'

定積分の場合は
　b　　　　b　　b
∫f'g = [fg] - ∫fg'
a　　　　　a　 a

(1) の式の場合、例えば、f'、gを↓の様におくと
f'= t^(p-1)　　g = (1-t)^(q-1)
f = 1/p * t^p　g'= (q-1)*(-1)*(1-t)^(q-1)
となる。と言うことは、最初の式は…と変形出来ますよね？
その式と最初の式を見比べてみてください。

ここの計算まではOKですか？
宿題か何かなのでしょうか？

補足

ありがとうございます。ということは２番も同様にすればよいのですね。

回答No.1

sssohei

(1) も (2) も定義通りの式を部分積分していけばOKです。
一回部分積分したときの式が元の式からどう変わるかを見れば、答えが導けると思います。

ΓはΓ関数（Γ(z) = ∫{0～∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt）ですよね？

補足

もう少し詳しくお願いできませんでしょうか。