すべてが直角の三角形の存在

質問

中学一年の時の数学の先生がこんなことをいいました。
すべての角が直角の三角形があるんやぞ～　、
そして中二のときに、天文学などの本をよんでいる時に偶然その三角形を発見してしまいました。
それは地球全体を使った三角形だと・・・・
地球の北極点から直行した二本の直線を赤道に向かっておろす。それによってできた二つの交点を赤道に沿って結ぶ。これで完成です。
というものでした。これは実際にできる話なのでしょうか?空間が完全に捻じれています。こんなことがあっていいのか?でも実際地球をたどっていくとできそうなんですよね・・・そのほんには、これによって空間の捻じれが証明できるとかかいてありました。逆に三角形の内角の総和が１８０度よりちいさい三角形もかいてありました。
空間が捻じれるというのはどういうことなのでしょう?重力があるがゆえにそういうことがおこってしまうのでしょうか?
地球上で今はただの直線で考えました。
これが鉄の棒ならどうなってしまうのかが・・・鉄の棒は宇宙からみると見事に曲がって見えて地球上からみると曲がってないのでしょうか。
もしそうなら巨人では?自分が曲がっているという自覚は存在しうるのでしょうか?曲がっていたら痛いでしょう。空間そのものが曲がっているがゆえに普通ってことなのですか?
不思議です。

回答No.8

sekisei · ベストアンサー

空間の捻じれを計測・・の点ですが、多分捻じれと言うよりゆがみでしょう。

こんがらがるのは質問者様が最初に挙げられた三角形と空間のゆがみを検出する際の三角形がどの次元下での話しかが分けられていないからだと思います。
最初の例のはゆがんだ２次元に存在する三角形。次の例の空間のゆがみの話で出てきたのは３次元に存在する三角形。
どちらも同じ三角形に思えますが厳密には次元数が違うので違います。

空間のゆがみについて・。
水星の近日点移動というものがあります。
水星は太陽の周りを（若干）楕円の軌道を描いて回っていますが、その楕円の軌道が年々回るような現象があります。（大変大雑把な表現ですが・・）
http://quasar.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/ob/miwa/youshi.html
それは太陽の周辺で空間がゆがんでいて本来円周が３６０°であるものが例えば３５０°（あくまでも例です）と言ったように少なくなっているためです。

また、重力レンズというものもあります。
http://windom.phys.hirosaki-u.ac.jp/monthly/noshock/theory.html
光は基本的に直進しますがブラックホール周辺や銀河の周辺ではその重力のために空間がゆがんでいるために光曲がって進むように見えます。
（重力で引っ張られているのとは違います）
これは太陽でも発生し実際一般相対性理論の検証として観測され一般相対性理論が正しいことの証拠ともなりました。
質問者さんの例とは違っていますがこれも空間のゆがみを証明する手段の一つです。

自覚できるかについてですが・・。
純粋に数学的な空間のゆがみでは知覚できないと思います。
しかし現実の空間のゆがみではそのゆがみに伴って重力が生じます。
私たちの体の大きさに対してそのゆがみが緩やかでほぼゆがみ＝０と考えられる場合は知覚できませんが、これがかなり激しいゆがみとなると体に潮汐力が働くため知覚できると思います。

回答No.9

FMnew7

地図についても同じようなことがいえます。
地図は一般的に、等緯度線と子午線で区切られていますが、上辺の長さと下辺の長さは違うはずです。それなのに４つの角は直角になっています。

また、球面上では円周率の値も変わってきます。
北極を中心に考えた場合、北極付近の非常に小さな円ならば3.14・・・ですが、赤道では 2 になり、南極では 0 になってしまいます。

補足

円周率が赤道では２になり南極で０になる理由を考えてみましたが、わかりません。
なぜですか?

回答No.7

pyon1956

#4です。
＞では三角形の内角の和が１８０度より小さいか大きいかで空間のねじれを調べるという方法があるってのは僕の読み違いなんでしょうか

いいえ。間違ってません。宇宙的スケールでの空間の曲がり具合とかを測定する場合はそういう方法もあります。

ですが。地球の地面の上、というのはこれと似て非なるものです。
つまり本来2次元平面でなく3次元空間内の2次元球面であり、また直線と思っているものはユークリッド幾何学では円（正確には球に対する大円）です。ただ、地球が大きいので、普段その区別を意識していないだけです。地球平面説などもこうして生まれましたが無論現在では論破されています。

さらにそういう事を承知の上でこの大円を直線とみなすことによって非ユークリッド幾何学としての球面幾何学が成立するわけで、そういうふうに見なせば確かに地球表面は「ねじれて」（というと雑巾絞ったみたいな形を考えてしますので、曲がって、というのが正しいでしょうが）います。

ただ、これは観点の違いなので、それで腰痛を起こす事はありません。実のところ重力の働く方向や力の働く方向は変わらずに座標系が変わっているだけですから。

回答No.6

Jodie0625

＃３です。

＞曲がってない鉄の棒を地球上に寝かせようとすれば地球には完全に寝かせられないで遠くにいくほど徐々に浮いていってしまう

じゃ、どこで浮くのか？
厳密にいうと、全然たわむことのない鉄の棒を考えると、地球上の一点で支えられているだけです。実際には鉄棒自身の重さもあってたわみますし、地表の丸みによる浮き分を無視できるだけです。

無視できない例としては、水平線。
地球は丸いから、水平線のむこうは見えないですよね。
じゃ、ふつうの大人が立ってみている水平線はどれくらい先にあるのか？というと、約４～５ｋｍしか離れていないそうです。

隣同士で建っている同じ高層ビルも、精密に測定すると地上の距離と屋上間の距離が違うということになります。

回答No.5

mide

平面と球面とでは、三角形の性質が違うんですよね。それをねじれというのか、ちょっと疑問ですが…。

ご自分で不思議な三角形を発見したというのは素晴らしいことですね。でも地球上だと、三角形の辺自体が直線ではないからともいえます。では次のような三角形はどうでしょうか。

星がたくさん出ているとします。天頂にある星と南の地平線にある星とを真っ直ぐに結びます。また天頂の星と東の地平線の星も真っ直ぐに結び、さらに南の地平線の星とも真っ直ぐに結びます。この三角形の各辺は真っ直ぐで、角はすべて直角になるのではないでしょうか。空間がねじ曲がっているというわけではありませんよね。

この三角形の内角の和は270°ですが、三角形の中心に向かって三角形を縮小させていくと、内角の和はだんだん180°に近づいていきます。しかし、いつか完全に180°になるでしょうか？私たちは、もしかしたら内角の和がぴったり180°になる三角形を見ることはできないのでは…。

補足

全ての回答をよんでの補足ですが、
では三角形の内角の和が１８０度より小さいか大きいかで空間のねじれを調べるという方法があるってのは僕の読み違いなんでしょうか??？そう書いてあったとおもうんですが。どうなんでしょう?

回答No.4

pyon1956

球面三角形とかですね。
しかしこの中学校の先生の発言はじつのところ不正確です。
つまり地球上では「直線とは地球表面に添って曲がっているものである」ということを言っているわけですが、そこのところを話題作りという事で曖昧にしているからです。
したがって、直線をどう定義するか、による、といえます。
球面幾何学においては、直線を大円と同一視するわけですが、この場合たとえば平行線は存在しません。
そういうわけでこれは非ユークリッド幾何学です。
http://www.math.meiji.ac.jp/%7Eahara/00kika1/1c.html

それと誤解があるのですが、地球上でそういうふうになるのは直線と考えているものが実はユークリッド幾何の直線とは一致しないからに過ぎません。ユークリッド幾何の直線ならば、まっすぐ行くと徐々に地球表面を離れ、どんどん高度が上がり・・・・となっていきます。
そういう意味でこの場合重力による空間の湾曲というのは全くの誤解です。（まあ少しは湾曲していますが。でないと重力が存在しないから）
つまり、3次元空間内の2次元ユークリッド球面上の大円を直線と同一視したために起こる問題と、相対性理論による空間そのものの湾曲を混同しているのです。つまり球面幾何は非ユークリッド幾何ですが、相対論もまた非ユークリッド幾何を背景に論じられている、というだけで両者の間に直接の関係はないわけです。
曲がっているのは地球の表面であって、とりあえず重力は関係ありません。空間も曲がっていません。ただ、直線の定義が違っているだけです。
球面幾何の場合そもそも3次元空間そのものは考えていませんから（球面のみです）3次元に広がっている、と見なせるほどの大きさの巨人から見ればそもそも「直線」は直線に見えません。
空間そのものは曲がっていません。
ついでながら本当に「空間」が曲がっていたら・・・「痛い」かどうかはわかりませんが、通常その中にいる場合曲がっている認識はされないでしょう。そもそも曲がっているというのはまっすぐに対するものですから、まっすぐケ認識されない限り曲がっているとも考えないはずです。
ただし何らかの影響はありますし、結果どうなっているかという考察は可能です。実際相対性理論は、だからこそ重力がある、と考えているのですから。

お礼

つまり僕のいった三角形の直線は実は直線ではなく曲がっていたということか・・・
ってことは、地球から月に向かってまっすぐに伸ばした曲がってない鉄の棒を地球上に寝かせようとすれば地球には完全に寝かせられないで遠くにいくほど徐々に浮いていってしまうということですか・・ちょっと夢が壊れました(笑)
ありがとうございました

回答No.3

Jodie0625

三角形の内角の和が１８０度というのは、平面図形でのお話です。地球の表面は見事に球面です。
曲面上では、「平行線は交わらない」という公理も、あやしくなってきます。

＞今はただの直線で考えました。
いや、球面に書かれた時点で既に直線ではないわけです。鉄の棒だって同じです。曲率半径約６４００ｋｍの曲がった棒です。我々人間には認識できないくらいの曲率です。巨人なら認識できるかもしれませんが、じゃこんどは太陽と地球の距離を半径にした球体を作って見せたら、さすがにわからないだろうな。その程度です。
いくらでも巨大な視角をもつ想像上の生物を想定することはできそうですから、いくらおおきな半径の鉄棒を持ってきたとしても、さらに大きな視野をもった生物・・・と考えていくと、どんな曲面でも同じことになります。
地球上に置かれた鉄棒じゃなくても、ピンポン玉の上にマジックペンで書いた線のことを論じても同じことです。

二次元の世界＝平面に住んでいる生物がいたとしましょう。彼らにとってここは平面なのか、曲面上なのかは、三角形の内角の和が１８０度になっているかを測定すると判断できそうです。

重力のねじれ、空間のねじれというところまでは、頭がついていけません。

回答No.2

simoyama

訂正、
地球は完全な球体ではないので正三角形にはなりませんでした。二等辺三角形です。

回答No.1

simoyama

それは立体になってますから三角形ではありません。北極点と赤道上の２点の３点を地球の中を潜る最短の直線で結んだら正三角形になりますけど。