円柱と球の共通部分の表面積

質問

球x^2+y^2+z^2≦1と円柱x^2+y^2≦xとの共通部分の表面積を求めよ

という問題で、球が円柱に切り取られる部分の面積はわかるのですが、
側面の部分の求め方がわかりません。
x,y,z≧0の部分で
x,y平面上の円柱の中心を基準として円周上の点を
(1+cost,sint)とおき
∫√(1-x^2-y^2)dx
を変数変換してみたのですが、
このやり方はおかしいですよね。

わかる方いらっしゃいましたら方針だけでも
教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

ちなみに表面積は2π
で側面の部分だけだと4になるようです。

回答No.2

info22

>(1+cost,sint)とおき
間違いです。
>∫√(1-x^2-y^2)dx
これも間違いです。
側面の表面積は
円筒座標を使ってやると
S=4∫[0,π/2](1/2)*2θsinθdθ=4
と簡単に出来ます。

円筒座標が分からなければSの式の意味は理解できません。
円筒座標や直交座標系から円筒座標系への座標変換についてはネットを検索すればたくさんの解説が載っていますのでご自分で検索して調べて勉強して下さい。

回答No.1

noname#227064

方針はいいのですが、

> (1+cost,sint)とおき

円柱のxy座標は((1+cost)/2,(sint)/2)となります。

> ∫√(1-x^2-y^2)dx

円周に沿って積分しないといけないので、dxではうまくいきません。
tがΔtだけ変化すると円周はどれだけ変化するかわかりますか？