光と電子のコンプトン散乱と同程度の計算について

質問

こんにちは、
光と電子のコンプトン散乱の計算について教えて頂きましたが、その際、mathematicaでプログラムを作成したので、せっかくなので同程度の計算を他にも試してみたいのですが、何かないでしょうか？
形としましては、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
程度の計算で、この式のようにγ行列が、そのまま式に現れていて、偏光を考慮したり、繰り込みとかの、ややこしい計算を含まない単純なものが有り難いです。
また、コンプトン散乱の計算のように、計算値と実験値が直ぐに比較できるものがベストです。
どの本を、どこを見たら参考になるかをご教示頂きましたら幸いです。
いろいろと贅沢を申しますが、よろしくお願いいたします。

回答No.17

grothendieck · ベストアンサー

Aμν Bνμを展開したものは下の回答の通りですが、
A00 B00 + A10 B01 + A20 B02 + A30 B03
　+ A01 B10 + …

を’実際に’計算することはお勧めしません。電子のカレントからのテンソルは

　A1 gμν + A2 pμ qν + A3 qμ pν

という形をしています。ここでA1, A2, A3はスカラーです。同様にニュートリノの方からの

　B1 gμν + B2 kμ jν + B3 jμ kν

と縮約すると

　gμνgμν = 4
gμνkμjν = gμνjμkν = (k,j)
pμqνkμjν = qμpνjμkν = (p,k)(q,j)

等によってスカラーが出てきます。α, βをスカラーとしたとき、テンソルの縮約について
　Aμν (αBνμ + βCμν)
= αAμνBνμ + βAμνCμν

が成り立つので積は * で計算しても良いのです。その後で、
　g[μν]vec[p,μ]vec[qν] → sc[p,q]

等とすれば良いのです。

お礼

お世話になります。

考えてみましたら、gμνやベクトルをわざわざ使用するので、計算がややこしくなるので、最初から　スカラーのみを使用すれば良いのではないでしょうか？

下記プログラムは、スカラーのみ使用して計算したものです。（Tamar Aは使用しておりません。）
答えは、

8*CL2*CR2*(-(j0*k0) + j1*k1 + j2*k2 - j3*k3)*(CL1^2*m^2 + CR1^2*m^2 -
2*CL1*CR1*(p0*q0 - p1*q1 - p2*q2 + p3*q3))

です。如何でしょうか？

プログラム

gu[0] = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -1}};
gu[1] = {{0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}, {0, -1, 0, 0}, {-1, 0, 0, 0}};
gu[2] = {{0, 0, 0, -I}, {0, 0, I, 0}, {0, I, 0, 0}, {-I, 0, 0, 0}};
gu[3] = {{0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, -1}, {-1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}};
e4 = IdentityMatrix[4];
gm[0] = 1*gu[0];
gm[1] = -gu[1];
gm[2] = -gu[2];
gm[3] = -gu[3];
gu[5] = I*gu[0] . gu[1] . gu[2] . gu[3];
gm[5] = -gu[5];
m[p] = m*e4;
sl[q] = gu[0]*q0 + gu[1]*(-q1) + gu[2]*(-q2) + gu[3]*(-q3);
sl[p] = gu[0]*p0 + gu[1]*(-p1) + gu[2]*(-p2) + gu[3]*(-p3);
sl[k] = gu[0]*k0 + gu[1]*(-k1) + gu[2]*(-k2) + gu[3]*(-k3);
sl[j] = gu[0]*j0 + gu[1]*(-j1) + gu[2]*(-j2) + gu[3]*(-j3);
st1 = 0; y1 = 0; st2 = 0; y2 = 0; st3 = 0; y3 = 0;
For[x = 0, x <= 3, x++,
For[y = 0, y <= 3, y++,
y1 = Tr[(sl[p] + m[p]) . ((CL1/2)*(e4 - gm[5]) + (CR1/2)*(e4 + gm[5])) .
gm[y] . (sl[q] + m[p]) . gm[x] . ((CL1/2)*(e4 - gm[5]) +
(CR1/2)*(e4 + gm[5]))];
y2 = Tr[sl[k] . ((CL2/2)*(e4 - gm[5]) + (CR2/2)*(e4 + gm[5])) . gm[y] .
sl[j] . gm[x] . ((CL2/2)*(e4 - gm[5]) + (CR2/2)*(e4 + gm[5]))];
y3 = y1*y2; ]];
f1 = FullSimplify[y3]

補足

毎々、懇切丁寧なご回答をいただきありがとうございます。

＞が成り立つので積は * で計算しても良いのです。その後で、
＞　g[μν]vec[p,μ]vec[qν] → sc[p,q]
＞等とすれば良いのです。

つまり、下記の通り計算してもよろしいのでしょうか。
式
y1 = tr[(sl[p] + m[p])**((CL1/2)*(1 - gm[5]) + (CR1/2)*(1 + gm[5]))**gm[n]**(sl[q] + m[p])**gm[m]**
((CL1/2)*(1 - gm[5]) + (CR1/2)*(1 + gm[5]))];
y2 = tr[sl[k]**((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))**gm[n]**sl[j]**gm[m]**((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))];
y3 = y1*y2;
FullSimplify[ExpandAll[y3]]

答え
-8*CL2*CR2*(g[m, n]*sc[j, k] - vec[j, n]*vec[k, m] - vec[j, m]*vec[k, n])*(g[m, n]*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2 - 2*CL1*CR1*sc[p, q]) +
2*CL1*CR1*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]))

この答えを
gμνgμν = 4
gμνkμjν = gμνjμkν = (k, j)
pμqνkμjν = qμpνjμkν = (p, k)(q, j)
g[μ, ν]vec[p, μ]vec[q, ν] → sc[p, q]
等の規則に従ってスカラーに直せば解が得られるのでしょうか。

下記は、μ→m, ν→n としました。
g[m, n]g[m, n] = 4
g[m, n]vec[k, m]vec[j, n] → g[m, n]vec[j, m]vec[k, n] → sc[k, j]
vec[p, m]vec[q, n]vec[k, m]vec[j, n] → sc[p, k]*sc[q, j]
g[m, n]vec[p, m]vec[q, n] → sc[p, q]

そうしますと、

y1 = -8*CL2*CR2*(g[m, n]*sc[j, k] - vec[j, n]*vec[k, m] - vec[j, m]*vec[k, n])*
(g[m, n]*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2 - 2*CL1*CR1*sc[p, q]) + 2*CL1*CR1*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]));

y2 = ExpandAll[y1] /. vec[j, n]*vec[k, m] -> sc[j, k] /. vec[j, m]*vec[k, m] -> sc[j, k] /. g[m, n]*vec[j, m]*vec[k, n] ->
sc[k, j] /. g[m, n]*vec[k, m]*vec[j, n] -> sc[k, j] /. g[m, n]^2 -> 4 /. vec[p, m]*vec[q, n]*vec[k, m]*vec[j, n] ->
sc[p, k]*sc[q, j] /. vec[j, m]*vec[k, n]*vec[p, m]*vec[q, n] -> sc[j, p]*sc[k, q] /.
g[m, n]*vec[p, m]*vec[q, n] -> sc[p, q] /. vec[j, m]*vec[k, n]*vec[p, n]*vec[q, m] -> sc[j, p]*sc[k, q] /.
g[m, n]*vec[p, n]*vec[q, m] -> sc[p, q];
FullSimplify[ExpandAll[y2]]

答え
8*CL2*CR2*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2*((-4 + g[m, n])*sc[j, k] + sc[k, j]) +
2*CL1*CR1*(2*sc[j, p]*sc[k, q] - sc[k, j]*sc[p, q] + sc[j, k]*((-(-2 + g[m, n]))*sc[p, q] + vec[p, n]*vec[q, m] +
vec[p, m]*vec[q, n])))

というような式の置き換えをして求めればよいのでしょうか？
（まだ最後まで上手く置き換えが出来ておりません。しかし、g[m, n]が最後まで残ってしまいそうです。計算は再度やりますが、やり方はこれでOKなのでしょうか？）

回答No.7

grothendieck

レプトンの質量を入れるときは
　sl[p] → sl[p] - m
とすることで計算されます。
高エネルギー電子と陽子中性子の衝突はパートン模型-QCDで計算されます。これも「長島」「Cheng-Li」にあります。実験データは
　http://pdg.lbl.gov/
にまとめられています

お礼

お返事ありがとうございます。

レプトンの質量をsl[p] → sl[p] - m　として計算します。なぜか、マイナスなのですね。

また高エネルギー電子と陽子中性子の衝突はパートン模型-QCDをキーワードにして、いろいろと調べてみます。

補足

毎々お世話になります。

Tamar Aを使用しないプログラムが出来ました。下記の通りです。このプログラムを使用して、レプトンの質量を考慮した計算をしたいと思うのですが、いざ計算してみようとしますと、やはりsl[p] → sl[p] - mのように符号がマイナスなのが理解できません。電子と光子のコンプトン散乱の場合は、下記のようにプラスで計算できました。なぜ今回はマイナスなのでしょうか？恐れ入りますが、ご教示頂きましたら幸いです。

（参考）電子と光子のコンプトン散乱の場合
s1 = Tr[(sl[q] + ms) . gu[x] . (sl[p] + sl[k] + ms) . gu[y].(sl[p] + ms) . gd[y] . (sl[p] + sl[k] + ms) . gd[x]];

Tamar Aを使用しないプログラム
gu[0] = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -1}};
gu[1] = {{0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}, {0, -1, 0, 0}, {-1, 0, 0, 0}};
gu[2] = {{0, 0, 0, -I}, {0, 0, I, 0}, {0, I, 0, 0}, {-I, 0, 0, 0}};
gu[3] = {{0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, -1}, {-1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}};

e4 = IdentityMatrix[4];

gd[0] = 1*gu[0];
gd[1] = -1*gu[1];
gd[2] = -1*gu[2];
gd[3] = -1*gu[3];
gu[5] = I*gu[0].gu[1].gu[2].gu[3];
gd[5] = -1*gu[5];

m = 0;

mk = 0;

sl[q] = gu[0]*q0 + gu[1]*(-q1) + gu[2]*(-q2) + gu[3]*(-q3);
sl[p] = gu[0]*p0 + gu[1]*(-p1) + gu[2]*(-p2) + gu[3]*(-p3);
sl[k] = gu[0]*k0 + gu[1]*(-k1) + gu[2]*(-k2) + gu[3]*(-k3);
sl[j] = gu[0]*j0 + gu[1]*(-j1) + gu[2]*(-j2) + gu[3]*(-j3);

ms = m*e4;

st = 0;
y1 = 0;
For[x = 0, x <= 3, x++,
For[y = 0, y <= 3, y++,

s1 = Tr[sl[k].gd[x].(e4 - gd[5]).sl[j].gd[y].(e4 - gd[5])];
s2 = 1/2*Tr[sl[p].gu[x].(e4 - gd[5]).sl[q].gu[y].(e4 - gd[5])];

st = s1*s2;
y1 = y1 + st;
]];

f = ExpandAll[y1];

g[1] = p0^2 - p1^2 - p2^2 - p3^2;
g[2] = q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2;
g[3] = k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2;
g[4] = j0^2 - j1^2 - j2^2 - j3^2;

g[5] = q0*p0 - q1*p1 - q2*p2 - q3*p3;
g[6] = j0*p0 - j1*p1 - j2*p2 - j3*p3;
g[7] = j0*q0 - j1*q1 - j2*q2 - j3*q3;
g[8] = k0*j0 - k1*j1 - k2*j2 - k3*j3;
g[9] = k0*p0 - k1*p1 - k2*p2 - k3*p3;
g[10] = k0*q0 - k1*q1 - k2*q2 - k3*q3;

v1 = {9, 4, 5, 1, 3, 7, 8, 10, 6, 2};

For[rg = 1, rg <= 1, rg++,
For[ry = 1, ry <= 10, ry++,

x1 = v1[[ry]];
If[x1 == 1 || x1 == 2, hf = m^2];
If[x1 == 3 || x1 == 4, hf = 0];
If[x1 == 5, hf = m^2 - t/2];
If[x1 == 6, hf = (1/2)*(m^2 - u)];
If[x1 == 7, hf = (1/2)*(s - m^2)];
If[x1 == 8, hf = -(t/2)];
If[x1 == 9, hf = (1/2)*(s - m^2)];
If[x1 == 10, hf = (1/2)*(m^2 - u)];
f =
Simplify[(f - PolynomialMod[f, g[x1]])/g[x1]]*hf +
PolynomialMod[f, g[x1]];

]];

t = 2*m^2 - s - u;
Print[f /. m -> 0];

回答No.6

grothendieck

私はTamarAの使い方は分かりません。しかしhttp://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1750863
では
　T1 = tr[(sl[q] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**
gm[n]];
とトレースの中で行列の積が ** になっていたのに
　y1=tr[sl[k1]*gm[?[Mu]]*(1-gm[5])*sl[k]*gm[?[Nu]]*(1-gm[5])]

は行列の積が * で良いのでしょうか。まず
　Tr{γ5 γμ γν} = 0
　Tr{γ5 γμ γν γρ γσ} = 4i ε μνρσ

などが計算できるかを確認することから始めた方が良いかもしれません。

補足

毎々お世話になります。
おっしゃる通りに計算してみますと、３２ｓ＾２が得られました。
ずばり的をついたご指摘ありがとうございます。
更に下記についてご教示頂きましたら幸いです。
ここでの計算条件は、「レプトンの質量はすべて無視した。」とあります。
無視した場合は、
y1 = tr[sl[k] ** gm[μ] ** (1 - gm[5]) ** sl[j] ** gm[ν] ** (1 - gm[5])];
y2 = 1/2*tr[ sl[p] ** gm[up[μ]] ** (1 - gm[5]) ** sl[q] **gm[up[ν]] ** (1 - gm[5])];
となりますが、無視しない場合は、
y1 = tr[(sl[k]+mk) ** gm[μ] ** (1 - gm[5]) **( sl[j]+mk) ** gm[ν] ** (1 - gm[5])];
y2 = 1/2*tr[( sl[p]+mp) ** gm[up[μ]] ** (1 - gm[5]) **( sl[q]+mp) **gm[up[ν]] ** (1 - gm[5])];
でよいでしょうか？また、無視しないで計算した結果は、本等に記載されているのでしょうか？それとも意味がないので記載されてないのでしょうか？

追伸
今後上記計算を、Tamar Aを使用せずに計算するつもりですが、その後、
（１） 静止もしくは運動している陽子と中性子に、高速の電子（１個でも多数でもOK）が衝突した場合
を計算してみたいのですが、上記の計算は可能なのでしょうか？また実験結果はあるでしょうか？

Tamar Aを使用して計算したプログラムです。
y1 = tr[sl[k] ** gm[μ] ** (1 - gm[5]) ** sl[j] ** gm[ν] ** (1 - gm[5])];
y2 = 1/2*tr[
sl[p] ** gm[up[μ]] ** (1 - gm[5]) ** sl[q] **
gm[up[ν]] ** (1 - gm[5])];
y3 = Simplify[y1*y2];
Print[y3];
y4 = y3 /. sc[k, p] -> k0*p0 - k1*p1 - k2*p2 - k3*p3 /.
sc[j, q] -> j0*q0 - j1*q1 - j2*q2 - j3*q3;
f = ExpandAll[y4];
x =.;
x[1] = p0^2 - p1^2 - p2^2 - p3^2;
x[2] = q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2;
x[3] = k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2;
x[4] = j0^2 - j1^2 - j2^2 - j3^2;
x[5] = q0*p0 - q1*p1 - q2*p2 - q3*p3;
x[6] = j0*p0 - j1*p1 - j2*p2 - j3*p3;
x[7] = j0*q0 - j1*q1 - j2*q2 - j3*q3;
x[8] = k0*j0 - k1*j1 - k2*j2 - k3*j3;
x[9] = k0*p0 - k1*p1 - k2*p2 - k3*p3;
x[10] = k0*q0 - k1*q1 - k2*q2 - k3*q3;
v1 = {9, 4, 5, 1, 3, 7, 8, 10, 6, 2};
t = 2*m^2 - s - u;
For[ray = 1, ray <= 5, ray++,
For[ret = 1, ret <= 10, ret++,
x1 = v1[[ret]];
If[x1 == 1 || x1 == 2, hf = m^2];
If[x1 == 3 || x1 == 4, hf = 0];
If[x1 == 5, hf = m^2 - t/2];
If[x1 == 6, hf = (1/2)*(m^2 - u)];
If[x1 == 7, hf = (1/2)*(s - m^2)];
If[x1 == 8, hf = -(t/2)];
If[x1 == 9, hf = (1/2)*(s - m^2)];
If[x1 == 10, hf = (1/2)*(m^2 - u)];
f =
Simplify[(f - PolynomialMod[f, x[x1]])/x[x1]]*hf +
PolynomialMod[f, x[x1]];
]];

Print[f /. m -> 0];

回答No.5

grothendieck

療養中にお見舞いを申し上げます。早く回復されることを祈っています。
ところでWeinbergの教科書を見たのですが、中性カレント過程の断面積の計算はありませんでした。申し訳ありませんでした。他にも書いてある本は少なく、自発的対称性の破れなどが中心の様でした。しかしエイチスン=ヘイ「ゲージ理論入門II（第2版）」には断面積の計算があります。必要なトレースは(10.95)式で、これを使って14.5節で計算されます。また
　日置善郎『場の量子論-摂動計算の基礎』
にもあります。

お礼

お世話になります。

ご教示頂きました本のエイチスン=ヘイ「ゲージ理論入門II（第2版）」の断面積の計算「P334の問題１０．５」をまず、解いてみたいと思います。mathematicaのTamarAプログラムを使用してそのまま書きました。すると

y1=tr[sl[k1]*gm[\[Mu]]*(1-gm[5])*sl[k]*gm[\[Nu]]*(1-gm[5])]

y2=1/2*tr[sl[p1]*gm[up[\[Mu]]]*(1-gm[5])*sl[p]*gm[up[\[Mu]]]*(1-gm[5])]

y1*y2

計算結果

となりました。コンプトン散乱のときのように計算してくれません。どうしたらよいのでしょうか？ご教示頂きましたら幸いです。

補足

毎々お世話になります。

＞療養中にお見舞いを申し上げます。早く回復されることを祈っています。

ありがとうございます。お返事が大変遅れました。首・肩の痛みは、寝返りを打つことも出来ず、痛くて数日間眠れませんでしたが、今は眠れるようになり何とか起き上がれるようになりました。

さて、ご教示頂きました式（B.19）を、まずTamarAプログラムを使用して計算してみようと思い、そのまま書きました。すると
y =Tr[gm[up[\[Mu]]]*(a-b*gm[5])*(sl[i]-m[i])*gm[up[\[Nu]]]*((a//cj)-(b//cj)*gm[5])*(sl[f]-m[f])]

Tr[(a - b gm[5])^2 gm[up[\[Mu]]] gm[up[\[Nu]]] (gm[v4[f]] - m[f]) (gm[v4[i]] - m[i])]

となり、計算してくれません。aとb の星印は　複素数の意味でしょうか？そうだと思い
(a//cj)-(b//cj)としましたが、結果はただのa-bになってしまっています。どこが悪いのでしょうか？

＞エイチスン=ヘイ「ゲージ理論入門II（第2版）」には断面積の計算があります。
＞必要なトレースは(10.95)式で、これを使って14.5節で計算されます。

手元にありますので参考にします。

追伸
事情により明日からまたお返事が途絶えます。ご容赦願います。

回答No.4

grothendieck

私はワインバーグ 場の量子論〈3巻〉とエイチスンゲージ理論入門 (2) を持っていないので確認できないのですが、「ワインバーグ」は理論を作った人自身の著書で現在最も標準的な教科書であることから当然書かれていると思います。「エイチスン」にもゲージ理論の本なので多分あると思います。

補足

お返事遅れまして申し訳ございません。実は、背中・肩が痛む原因不明の病気（？）になり、療養しております。痛くて集中ができず深く考えれません。従いまして、しばらく計算ができません。病気が改善しましたら、またお返事致します。

回答No.3

grothendieck

必要なトレースの計算は「長島」付録(B.19)の式です。これが示されれば、あとはaやbに適当な値を代入して、フェルミオンが右巻きの場合や左巻きの場合の行列要素が得られます。

補足

お返事ありがとうございます。

ワインバーグ 場の量子論〈3巻〉非可換ゲージ理論とゲージ理論入門 (2) I・J・R・エイチスンには、「長島」付録(B.19)と同じ式は記載されてないでしょうか？

回答No.2

grothendieck

Weinberg-Salam理論はワインバーグの教科書にはもちろん書いてありますが、読破するのは大変です。読みやすくてしかも詳しい結果まで書いてある本として
　長島順清「素粒子標準理論と実験的基礎　朝倉物理学大系」

をお勧めしたいと思います。

お礼

お返事ありがとうございます。

長島順清「素粒子標準理論と実験的基礎　朝倉物理学大系」は、以前にもご教示頂きましたが、近所の図書館等には無く入手できませんでした。今回は、何としてでも入手して計算を試したいと思います。本を見て、またご質問させて頂くかと思いますので、よろしくご指導願います。

補足

お世話になります。

何とか、本日、長島順清「素粒子標準理論と実験的基礎　朝倉物理学大系」を入手しました。Weinberg-Salam理論の中性カレント過程の計算は、P94あたりのような気がするのですが、Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}に該当するような式は記載されているのでしょうか？

追伸
ついでに、ワインバーグ 場の量子論〈3巻〉非可換ゲージ理論とゲージ理論入門 (2) I・J・R・エイチスンも入手しました。

回答No.1

grothendieck

Compton散乱から一足飛びに現代に移って、Weinberg-Salam理論の中性カレント過程の計算等が良いでしょう。これは非可換ゲージ理論の最初の実験的証拠として記念すべきものです。例えば次の過程です。
　νμ + e → νμ + e
それまでにあった弱い相互作用の現象論ではこれは起らないはずですが、実験でWeinberg-Salam理論の予言が確認されたことにより、電磁相互作用と弱い相互作用の統一がついになし遂げられたとともに、ゲージ理論の正しさが多くの人に印象付けられました。この過程は運動量がベクトルゲージボゾンの質量に比べて小さいとき、Compton散乱と全く同じ様に行うことができます。（例えばTa-Pei Cheng, Ling-Fong Li; gauge Theory of elementary particle physics, (Oxford)のp.364）ただし４つのγ行列に加えて γ5 が必要になります。γ5 はカイラル対称性と関連しています。中性カレント過程は上記の本の他にも、Weinberg-Salam理論を扱っている本のどれにでもあると思います。

補足

お返事ありがとうございます。

「Weinberg-Salam理論の中性カレント過程の計算」と言いますと、理論物理学という感じがして「Compton散乱」より数段響きがいいですね。ど素人の私にとって「Weinberg-Salam理論」は夢のまた夢の理論です。（理解が完全に不能ということです。）当然、難しいでしょうね。でも、本当の中身を理解できなくても、計算だけを是非チャレンジしてみたいです。

図書館で、まずTa-Pei Cheng, Ling-Fong Li; gauge Theory of elementary particle physics, (Oxford)のp.364）を探し、その他の日本語の本で、「Weinberg-Salam理論の中性カレント過程の計算」について、記載されているか調べてみます。調べた結果をまた連絡させて頂きます。