四角形の問題

質問

いつも御世話になっております。
いきなり質問です。
正月にいとこ(高1)がうちに来てヒントが欲しいといわれました。以下が問題なのですが

四角形ABCDの辺ADの中点をMとすれば
三角形ABC＋三角形DBC＝2三角形MBCである。

の証明で
点Mから辺AB、辺DCにそれぞれ辺BD、辺ACに平行なるような線分を引いてみたら
っていいましたが後々で考えたら解けない感じがしてきました。
いいヒントもしあったら教えてください。

回答No.1

fuyoufu · ベストアンサー

面積ですよね？
３つの三角形の高さを考えると良いんじゃないですか？

回答No.6

ewor-03

最初に、３つの三角形の全ての底辺と、高さが同じである事を証明すればいいの。＾＾

次に、
三角形の公式、底辺X高さ÷２で全てが同じ面積になる事を証明して、

ゆえに、三角形ABC＋三角形DBC＝2三角形MBCである。
で良いのでは？
（中３～高１並のやり方でどうだい？）

回答No.5

pyon1956

失礼。#4さんの方針で正しいのですがこれは現在では数II、つまり標準では高2の数学です。（30年ちょっと前は高1でしたが）なのでいとこさんには無理かも。
で、そうなるとこれは数A（高1配当）の中の問題ですので、中点連結定理（これも中3配当）も含めた相似の方法が恐らくわかりやすいと思います。
（#4さん、「けちつけ」ではないのでそのあたりご笑慮のほどを。）

回答No.4

mirage70

座標を使えば、簡単にでてきます。
A(x1,y1),B(0,0),C(x3,0),D(x4,y4)と置くと、
点MはA,Dの中点より、x1,x4,y1,y4を使って表せます。
三角形ABC、三角形DBC、三角形MBCはすべて辺BCが共通。
それぞれの三角形の面積を計算すればよいです。

回答No.3

zou1

最近、中３の教科書から遠ざかっていますのでどのへんかは定かではありませんが、
中点連結定理の応用？であったきがします。
台形ABCDの足ABとCDに中点E、FをとるとAD平行BC平行EFになり、中点連結定理から（AD+BC)＝２EF

問題の解答としてはA,D,Mから垂線をおろしBCの交点をE、F、Gとすれば高さの和が２倍になります。

回答No.2

pyon1956

#1さんの方針でいけます。（底辺がBCで共通なので、高さの比＝面積の比）
直線BCに対する点A,M,Dの高さを考えると、この3点からBCへの垂線の長さですが、この3つの垂線は平行です。となれば相似のところの練習問題で同様のがあるはずです（中3の教科書があればいいのですが）。それで解りにくかったら、AかDで、よりBCに近い方の点を通りBCに平行な直線を引きましょう。すると三角形ができて相似で説明できるはずです。以上中3の問題です。