ベストアンサー 行列の対角化について 2001/12/18 15:13 非常に基本的な質問なんですが... 対称行列は、必ず対角化する事が可能なのでしょうか？ いえ、最近どうなのかなぁ？って疑問になりましたので...質問しました。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー continuous ベストアンサー率71% (5/7) 2001/12/19 04:39 回答No.1 実数を成分とする対称行列ならばユニタリー行列によって対角化されます。 もっと言えば、正規行列であることとユニタリー行列によって対角化されることは同値です。実数を成分とする対称行列は正規行列なのでユニタリー行列によって対角化されます。 質問者 お礼 2001/12/19 09:30 なるほど、そうなんですか。 ユニタリー行列を使って対角化できるんですね！ 有難うございました。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 対称行列 対角行列 対角行列と対角化について質問させて頂きます。 対角行列は、対角成分以外が0の正方行列です。 対称行列は、t^A=Aが成り立つ正方行列Aです。 ここで、対称行列の定理で、 ・対称行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。 というものがあるのですが、これは対角行列にも言えるのでしょうか？ 対角行列は対称行列なので言えると思いますが、 テキストに特に記載がなかったので質問させて頂きました。 以上、ご回答よろしくお願い致します。 行列の対角化について 実対称行列A:= | 0 1 2 | | 1 1 3 | | 2 3 0 | に対し、tPAPが対角行列となるような実正則行列Pはどのように求めればよいのでしょうか？ この場合は、固有値&固有ベクトルが簡単には求まらないので、簡単には対角化のための行列が求まりません。（たいていの問題では求まるんですが。） このような時は実二次形式を利用して解く、というような事は、色々見るのですが、いざやってみると行列Aの第1行第1列が"0"である事が非常に扱いづらいのです。つまり基本行変形だけで三角行列に変形できないのです。 どなたか教えていただけないでしょうか？ 対称行列の対角化の方法 もしも、対称行列が一次独立になった場合、 行列の対角化はどのようにして求めたら良いのでしょうか？ ただ何となく、どうなのかなと疑問に思ったので質問してみました。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 実対称行列の対角化に関する理屈が正しいか判断願います。 実対称行列の対角化に関する理屈が正しいか判断願います。 (3 3 1) (3 9 -1) (1 -1 1)の実対称行列を対角化します。 固有方程式を作り、サラス式で展開すると固有値は0と(13±√(57))/2となります。 ここまでは、数学カテゴリの回答者の皆さまに確認いただいています。 ここからが疑問です。 そもそもこの行列は実対称行列であって固有値はすべて実数である、つまり、適当な直行行列で固有値を対角成分とする対角行列に変換できることが保証されているのだから、固有値を適当に対角に並べた行列が対角行列となる。 解は 1行目((13-√(57))/2 0 0) 2行目(0 (13+√(57))/2 0) 3行目(0 0 0) となる。 という考え方はどうでしょうか？ 判断をお願いします。 対称行列とその対角化行列 対称行列とその対角化行列 行列要素が複素数である行列Aが(A^T)=A（Tは転置）を満たすなら，Aは対称行列といいますか？（ネットで見る限りではA^T=Aなどという場合，行列要素は実数である場合が多いようなのですが．） 実対称行列は直交行列で対角化できて，正規行列はユニタリ行列で対角化できますが，行列要素が複素数でA^T=Aを満たすような行列はどのような行列で対角化可能なのでしょうか？普通にユニタリ行列でしょうか？それとも，要素が複素数で(U^T)U=I（単位行列）なる行列Uによってできるのでしょうか？ 要素が複素数で(U^T)U=Iなる行列Uに名前はついているのでしょうか？ よろしくおねがいします． 対称行列の対角化 行列Aの固有値と固有ベクトルを求めよ。また、行列Aを対角化せよ。 (3 1 1) A=(1 2 0) (1 0 2) っていう問題で、固有値1,2,4は出したんですけど、そこから普通に固有ベクトルを出して対角化しようとしたらうまくいきませんでした。 対称行列では何か特別な方法を使うんでしたっけ？ Aは３次の正方行列です。 どなたかわかる方教えてください。 大規模行列の対角化 30000×30000の対称疎行列を対角化してすべての固有値を求めたいのですが、行列要素の格納がサイズが大きすぎてできません。 そこで、メモリをあまり使わずに格納する方法がありましたら 教えて下さい。 行列の対角化について 高校生です。 数Cの行列はだいたい理解していると思います。 独学で行列の対角化を勉強しているのですが、よくわかりません。 固有値、固有ベクトル、固有方程式の基本的は意味などはわかったつもりでいます。 対角化について、わかりやすく教えていただけないでしょうか？ よろしくお願いいたしますm(__)m ｎ×ｎ複素対称行列の対角化 [1 i] [i 3] が対角化できるかどうか？の問題なのですが 行列式：４，固有値：２のみ，固有ベクトルの張る空間：ａ・（ｉ，１）＾Ｔ だと思うのですが正しいですか？ 固有空間の次元が１であり２でないので前記行列は正則行列によって対角化できないと結論づけていいのでしょうか？ 「もしも、対称行列が一次独立になった場合、 行列の対角化はどのようにして求めたら良いのでしょうか？ 」という質問があったのですが対称行列に「一次独立」は定義されているのでしょうか？ 私は「正則」のことだと思うのですが 対角成分が等しい対称行列の正式名称はないでしょうか？ 対角成分が等しい対称行列 つまり (a b) (b a) のような形の行列の正式名称、もしくはもっと簡単な呼び名は ないでしょうか？ とてもシンプルな形なのに、いちいち「対角成分が等しい対称行列」 というのは少し面倒な気がします。 皆さんはこの形の行列のことを何と呼んでいますか？ よろしくお願いします。 行列の対角化 ┌1 －2 －2┐ A＝│1 2 2│ └(-2) 2 1┘ という行列なのですが、対角化できるのでしょうか？ 何度も何度も解きなおしてるんですけど対角化できません。 Aの固有方程式の解で重解になっているものがないので対角化は・・可能ですよね？ 固有値として-1、±√7が求まるのですが、±√7に対する固有空間を考えるとどうしても固有ベクトルとして成分がすべて0の（3,1）行列しか出てこなく、対角化行列が ┌0 0 0┐ P＝│1 0 0│ └(-1) 0 0┘ といったような行列になってしまうのですが、この場合P^(-1)が存在しないためP^(-1)*A*Pは存在しない事になり、Aは対角化不可能ということになってしまいますよね？？ 多分どこか間違った理解をしているところがあると思います。 どなたかご教授お願いできないでしょうか？ 実対称行列の直交行列による対角化の問題です。 Aは５×５の実対称行列で、 A= (1 0 1 0 1) (0 1 0 1 0) (1 0 1 0 1) (0 1 0 1 0) (1 0 1 0 1) を直交行列によって対角化する問題で、 何か工夫して解く方法は、ないでしょうか？？ 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 三角行列 対角行列 三角行列における行列式の計算は、 対角成分の総積で計算できますが、 対角行列（正方行列であって、その対角成分以外がゼロ であるような行列の事。）の行列式も同様に対角成分の 総積で計算して良いでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。 対称行列を直行行列で対角化 次の対称行列を直行行列で対角化せよ、という問題で、解き方が分からないので一つずつ順を追って教えていただきたいです。 3 0 0 0 1 2 0 2 1 自分で計算してみて、固有値は-1と3と出たのですが、この値で合っているのか、合っていたとしてこの次に固有ベクトルをどうすれば求めるられるのかが分からないです… よろしくお願いします。 直行行列による対角化 先ほど質問させていただいたのですがもう一度… 次の対称行列を直行行列によって対角化せよという問題で、その行列は 1 1 2 1 2 1 2 1 1 の3行3列の行列です。 私の解き方は固有値、固有ベクトルを求め、固有ベクトルから グラム・シュミットを利用してe1,e2,e3を求め、それを縦に並べたのを Pとおき、Pの逆行列を求め、P＾-1APを計算するというやり方です。 やっていて、疑問に思ったのがPと置くときe1,e2,e3の並べ方はどのように 並べても最終的な答えは変わらないのでしょうか?? 回答ではPの値は、()はルートを表しています。 1/(3) 1/(6) 1/(2) 1/(3) -2/(6) 0 1/(3) 1/(6) -1/(2) となっているのですが私は 1/(6) 1/(3) 1/(2) -2/(6) 1/(3) 0 1/(6) 1/(3) -1/(2) となっています。これでも問題なく解けますか?? また私のPの場合Pの逆行列はどうなりますか?? よろしくお願いします。 対角化行列 三次正方行列Ａ＝ ( ) | １ １ ０ | | １ １ １ | | ０ １ １ | ( ) 書き方わからないので見にくい方いたら申し訳ありません。（左上と右下だけ０であとはすべて１です。） この行列を対角化するんですが、固有値はλ1=1, λ2=1+√2, λ3=1-√2 の三つで、それぞれの固有ベクトルってλ1で、x=[1 0 -1] λ2で、x=[1 √2 1] λ3で、x=[1 -√2 1]となったのですが、これってあってますか？ （↑はそれぞれ正規化してません、対角化行列を作るときはλ2,λ3のノルムである２にλ1をあわせるようにして作りました。） 対角化行列の逆行列を求めるときにどうしてもおかしくなってしまいます。よろしくおねがいします。 行列の対角化について 行列Aが与えられていてその行列の固有値、固有ベクトルを求め、Aを対角化せよという問題があったとして、その問題を解くときに まず固有値を求め、固有ベクトルを求めるところまではいいんですが、 対角化するというときに固有ベクトルから行列Pを求め、P-1AP = 対角行列という風にすると思うんですが、この場合P-1APは実際にP-1を求めて計算する必要があるんでしょうか？ はじめから対角行列であるということがわかっているように普通に書いてもよいんでしょうか？ 行列の対角化についてです 次の対角化可能である２つの行列を対角化せよ 変換行列Pと、その逆行列P^-1 も求めよ （１） １ ０ A= ２ －２ （２） ５ －２ －２ B=１５ －８ －６ －９ ６ ４ ご教授お願いします。 ”エルミート対称行列と複素対角行列の積”への変換 ある複素正方行列を ”エルミート対称行列と複素対角行列の積” へ変換する方法はございますでしょうか？ 行列の対角化について ｜-8 9 -9｜ ｜9 -8 9｜ ｜9 -9 10｜ という行列に関してです。 まず固有値をλとするとλ＝１、－８となると思うのですが、この場合、対角化できるのでしょうか？できると思うのですが、うまくいきません。固有値が間違っているのでしょうか？ また、対角化をする際、各固有値に対する固有空間の基底を求めて、その基底を並べて対角化するための変換行列を作ると思いますが、基底の並べ方に制約があったりするのでしょうか？ 以上なのですが、ご教授していただけないでしょうか？よろしくお願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
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