離散フーリエ変換

質問

MITのOpenCourseWareの問題で分からない問題があるので教えていただきたいです。
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Electrical-Engineering-and-Computer-Science/6-003Fall-2003/Exams/index.htm
のQuiz 2のPROBLEM 3のpart a,bです。

part a:
r[n]は0-Mの偶数の時に1,それ以外は0なので,離散フーリエ変換すると
R(e^jω)=Σ[n=0..M]r[n]e^(-jωn)
となり,e^(-jωn)はnが偶数の時1となるので、
R(e^jω)=M/2となると思ったのですが、
答えは(e^-jω(M/2)sin(ω(M+1)/2))/sin(ω/2)でした。
なぜこうなるのでしょうか？

また、part b:についてなのですが、
この問題にはどのようにアプローチすればよいのか分かりません。

何かヒント等ありましたらpart a,bについてよろしくお願いいたします。

回答No.4

atomicmolecule · ベストアンサー

(1)初項１で公比がrの和をMまで取ると
1+r+r^2+.....+r^M= (r^{M+1}-1)/(r-1)
ではないですか？ｒの指数が１ずれてませんか？

(2)1-e^{ia}
=e^{ia/2}(e^{-ia/2}-e^{ia/2})
=e^{ia/2}(-２i)sin(a/2)
とまとめたほうが答えに近い形で簡単でしょう。

もう少しです、頑張ってみてください。

お礼

a,b共に答えを出すことが出来ました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

guuman

この問題は問題の出し方が不適切なのでかかわらないほうがいいようです
出題者は
フーリエ変換の意味や
離散フーリエ変換の意味を理解しているのか疑問です
自分なりの定義をしているのならば問題の補足に自分の定義を書かなければ問題としては欠陥です
ｎ,ｔ,ωの関係も怪しい

フーリエ変換では変数としてωまたはｆとｔがでます
整数変数もサンプリング信号のときや周期信号の時には出ますが普通は出ません

離散フーリエ変換では変数としてｍとｎあるいはｎとｋ等しか出ません
対応付けの定義なしにｔやｆやωは出ないのです
出すならば定義しなければなりません

あいまいな問題に取り組むのは非生産的です

お礼

この問題は問題として不適切なのですか。
確かに分かりにくいです。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

atomicmolecule

私の読み間違えでした。答えはあっているようですね。先ほどのやり方で導出した答えを整理してください。一致するはずです。ただし、私のMが偶数だという仮定はどこにもつかわなかったので、その仮定は不必要だと思います。

コンピューターをもっているなら、Mを適当に選んで逆フーリエ変換をしてみて数値的にチェックしてみたらどうでしょう。計算やるだけよりも実際にグラフなどを書いてやっていることチェックすると納得できると思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。

R(e^jω)を初項1,公比e^(-jω),項数Mとして等比数列の公式を適応すると
R(e^jω)=(1-e^(-jωM))/(1-e^(-jω))として,r=e^(-jω)と置いて
=((r^M/2-1)(r^M/2+1))/r-1と変形したり,オイラーの公式を用いて
=(1-(cosωM-jsinωM))/(1-(cosω-jsinω))としたのですが

ここからの展開が思いつきませんでした。

何かヒント等ございましたらよろしくお願いいたします。

回答No.1

atomicmolecule

誤解しているのかもしれませんが、偶数なのはMであってｎではないようです。よって
Σr[n]e^{jwn}=Σ_{n=0→M}e^{jwn}=1+e^{jw}+…+e^{jwM}となって等比数列の和で答えがでます。

答えがちょっと違っているようですが、その正解はチェックしましたか？

二問目は1/2(1-Cos[])ですが、１/2の第一項は全問の答えの１/2倍ですね。問題はCos[]ですが、これをexpで表すと、全問のフーリエ変換の答えと似た形にまとまりませんか？

これくらいで解けるとおもうのでここまでにします。