離散的フーリエ サンプリング時間（周期？）について

質問

ω0=2πf （fは信号の周波数)
測定したデータ　a(k)　（kは1～Nまで)
サンプリング周期 ts
Xa = (1/N)Σ(k=0～N-1) a(k)exp(-jω0・ts・k)
ここでｔｓは1点を取るあいだの時間なのか
1周期を取るあいだの時間なのか
どなたか教えて下さい。

それと（kは1～Nまで)というのは（kは0～N-1まで)
とどう違うでしょうか？どちらでも問題ないのでしょうか

回答No.2

keyguy · ベストアンサー

文脈から訂正しなくても分かると思いますが念のため訂正しておきます。多少のサービスもしておきます。

a(k)(k:0～N-1)の離散フーリエ変換A(k)(k:0～N-1)は
A(k)=Σ(0≦n<N)・a(n)・exp(-j・2・π・n・k/N)/N
(k:0～N-1)
です。

a(N)≡a(0)と定義するならば
exp(-j・2・π・0・k/N)=exp(-j・2・π・N・k/N)=1
なので

a(k)(k:1～N)の離散フーリエ変換A(k)(k:1～N)は
A(k)=Σ(0<n≦N)・a(n)・exp(-j・2・π・n・k/N)/N
(k:1～N)
としてもかまいません。

もしω[n]≡2・π・n/ts/Nと定義すれば
A(k)=Σ(0<n≦N)・a(n)・exp(-j・ω[n]・ts・k)/N
となります。
この場合(0<)tsはサンプリングの間隔に対応させることができます。
その場合N・tsが周期に対応します。

質問の式は矛盾を含んでいたので無視して改めて書きました。

回答No.1

keyguy

a(k)(k:1～N)の離散フーリエ変換A(k)(k:1～N)は
A(k)=Σ(0≦n<N)・a(n)・exp(-j・2・π・n・k/N)/N
です。
a(0)=a(N)とするならば
exp(-j・2・π・0・k/N)=exp(-j・2・π・N・k/N)=1
なので
A(k)=Σ(0<n≦N)・a(n)・exp(-j・2・π・n・k/N)/N
としてもかまいません。

もしω[n]=2・π・n/ts/Nとすれば
A(k)=Σ(0<n≦N)・a(n)・exp(-j・ω[n]・ts・k)/N
となります。