球の体積を求める数式について

質問

球の体積を求める数式で４／３と言う記述があるのですが、この４／３とは何なのですか？

回答No.7

tatsumi01

私も No. 6 の方と同じ回答をしようと思ったのですが、No. 2 の方の参考 URL を読んだら書いてありましたので止めました。
で、少し違う考え方を。
半径 x の球面の表面積は 4πx^2 です。この球面の厚さが微小で dx としますと、この球面状物体の体積は 4πx^2dx です。これを 0 から r まで積分すると (4/3)πr^3 です。
4 は球面の表面積から、3 は 2次式の積分から出て来たのですね (円錐や角錐の体積の 1/3 も積分から出て来ています)。
これも、積分を知らないと理解できないかも知れませんね。

回答No.6

pascal3141

直感的な考え方でいうと、球の表面を小さな面積、たとえば正方形に分割してそこから中心まで切り取ると、四角錐が切り取れます。（よくスイカなどがこういう形に切り取られて、試食用で八百屋に置かれていますね）すると、こういった小さな四角錐を全部集めると球の体積になります。四角錐の公式は、底面積×高さ（球の半径）÷３で、この底面積を全部集めると、球の表面積の４π×（半径）の２乗に成ります。よって、球の体積は、４π×（半径）の２乗×（半径）÷３となり、よく知られた公式が出ます。この４は、球の表面積の公式から、３は錐の公式から出ることがわかります。

回答No.5

0123456789A

これは積分を用いると容易に理解できるでしょう。
球座標では微小体積要素は
r^2sinθ drdθdφ
ですから、これを積分すれば
V=∫r^2dr∫sinθdθ∫dφ=3/4πR^3
となります
それぞれの積分範囲はr[0,R],θ[0,π],φ[0,2π]です。
積分を学んでいないとちょっと理解するのは難しいかもしれませんね。

回答No.4

dahho

n次元の球の体積は
π^(n/2) * r^n / (n/2)!
になるそうです。
http://www.geocities.jp/huanluosi/tables/n-hypersphere.html

「n次元の球の体積」とは正確には「n次元の球」の「n次元」の体積の大きさです。
つまり、「1次元の球＝円」の「1次元の体積＝長さ」が2πr
「2次元の球＝円」の「2次元の体積＝面積」がπr^2
「3次元の球＝円」の「3次元の体積＝面積」が4πr^3/3
4次元だとπ^2r^4/2
です。
計算は下記のPDFにありましたが、高度な積分が必要です。
http://www.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/05/zoku16-050516.pdf

４／３にどういう意味があるかは、面白い問題だと思います。
にどういう意味かは簡単には分かりませんが、次元の数によって決定されるものだと思います。空間がどう広がっているかという問題ではないでしょうか？数学と言うか哲学っぽい問題になってくると思います。

円周率、つまり円の直径と円周の比がなぜ3.14159…という値なのか？というのと同じくらい難しい問題だと思います。円周率とは一体何かという問題です。

空間がもし曲がっていれば（その空間上での）円周率の値は変わってきます。一般相対論によれば現在の宇宙は正の曲率を持っていると言われているので実質的には円周率はπよりほんの少し小さくなっていると思います。ちょっと数学から脱線してしまいました。

回答No.3

underware

r(半径)×ｒ×π＝円の面積。
円の面積×２ｒ＝円柱の体積
円柱の体積×２/３が球の体積

つまり４π（ｒ３）/３という公式になる。　（ｒ３はｒの３乗という意味）。

だから、４/３は何という疑問はあまり意味がないと思う。しかし、円の面積の公式、球の公式というのは、中学レベルではただ覚えるだけだと思うのですが、こういうのって積分の結果、そういう公式になっていると考えてください。

回答No.2

wuyan

こちらをどうぞ。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/intuition.htm

回答No.1

kiyocchi50

半径rの球の体積を考えます。
この球の中心をOとし、OからXだけ離れた位置で球を切断した時に出来る円の面積はπ（r＾２ーX＾２）ですので、ーrから＋rまで積分すると４／３πr＾３という式が導けます。

積分を学んでいない場合は学ぶまでちょっとわからないかもしれません。