数学に強い方へ

質問

図がうまくかけず、球が内接しているようにみえませんが、内接しています。

問題　右図のような高さが１２cm、底面の半径が５cmの円錐に内接する球Ｓ１がある（大きい方）。さらに、球Ｓ１と円錐に接するＳ２がある。（小さい方）

球Ｓ２の半径を求めよ。　
この問題で、△ＡＤＥ∽△ＡＢＣで、相似比より内接円の半径を求めていました。
なぜ、、△ＡＤＥ∽△ＡＢＣの比と球の相似比が一致するとわかるのですか？？

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

Ｓ１とＳ２の半径をｒ１、ｒ２とし、両者の接点をＰとします。また、ＢＣの中点をＱ、ＡＢとＳ１，Ｓ２の接点をそれぞれＲ１，Ｒ２とします。さらに二つの円の中心をＳ１，Ｓ２とします。
　△ＡＲ２Ｓ２と△ＡＲ１Ｓ１の相似（相似比はｒ２：ｒ１）はいいですね？次に△ＡＤＰと△ＡＢＱについて考えます。ＡＰ＝ＡＳ２＋ｒ２、ＡＱ＝ＡＳ１＋ｒ１ですがＡＳ２：ＡＳ１＝ｒ２：ｒ１なのでＡＰ：ＡＱもｒ２：ｒ１となり、△ＡＤＰと△ＡＢＱは相似で辺の長さの比はｒ２：ｒ１になります。△ＡＥＰと△ＡＣＱについても同じことが言えるので△ＡＤＥと△ＡＢＣは相似比ｒ２：ｒ１の相似形となります。