インボリュート曲線の長さ

質問

よろしくお願いします。
インボリュート曲線はインボリュート関数
ｉｎｖ（ａ）＝Ｔａｎ（ａ）－ａ
ａ：ｒａｄｉａｎ
で示されますが、
　例えば
ａの区間　a1,a2 の間の曲線長はインボリュート関数で
示す事が可能でしょうか。可能であれば式をご教示ください。
このとき基礎円の半径をｒとします。

回答No.2

mis_take · ベストアンサー

基礎円に巻きつけた糸を剥ぎ取ったとき先端の描く曲線ですが，
角θ分だけ剥ぎ取った時の先端の座標は
ｘ＝ｒ(cosθ＋θsinθ)
ｙ＝ｒ(sinθ－θcosθ)
で表されます。
それまでの軌跡の長さは
L(θ)＝∫ｒ√{(cosθ＋θsinθ)'^2＋(sinθ－θcosθ)'^2}dθ
＝ｒ∫θdθ
＝1/2ｒθ^2
となります。

ａとθの関係は
θ＝tanａ
なので
L(ａ)＝1/2ｒtan^2ａ
L(ａ1～ａ2)＝1/2ｒ(tan^2ａ2－tan^2ａ1)
だと思います。

お礼

mistake 様

ありがとうございます。今までの書き込みと異なる結論になって
驚いています。ご提示の式でしたら随分楽になります。もう少し
このまま様子を見たいと思います。

補足

考えてみると確かに求まっていますね。
ただ、
---------------------------------
ａとθの関係は
θ＝tanａ
なので
L(ａ)＝1/2ｒtan^2ａ
L(ａ1～ａ2)＝1/2ｒ(tan^2ａ2－tan^2ａ1)
だと思います。
------------------------------------
L=(1/2)*ｒ*(a2^2)-(1/2)*ｒ*(a1^2)
ではいけないのは何故でしょうか。a1,a2ははぎとった角度
そのものだと思うのですが。

回答No.5

adinat

工学に詳しい人に聞いた方がよいような気がしますが、少し僕も調べてみましたので再度解答します。先の解答は誤解していたので忘れてください。インボリュート関数のグラフ長を求めていました。ひとつ文句を言うと、「インボリュート曲線はインボリュート関数で示されます」という日本語はめちゃくちゃです。

平面上に半径rの円を用意して、原点をO、点S(r,0)を取ります。さらに円周上に点Qを取り、角OQP=+π/2、円弧長SQ=線分PQとなるように点Qと点Pを取ります。Qを円周上を半時計周りに点Sから動かすときのPの軌跡がインボリュート曲線です。で、角POQのことを圧力角とか言うらしく（あまり自信ない）それをaと書くことにして、さらに角SOQをθ(a)とすると、PQ=円弧SQより、PQ=OQ*Tan(a)=r*Tan(a)、円弧SQ=r(θ(a)+a)に注意して、θ(a)=Tan(a)-aとなります。したがってインボリュート関数とは、圧力角に対する、インボリュート曲線の偏角のことだと思われます。i.e. inv(a)=θ(a)。

他方、φ=θ(a)+aをおけば、媒介変数φによって、インボリュート曲線はx=r(cosφ+φsinφ),y=r(sinφ-φcosφ)とかけるから、曲線長は[φ1,φ2]で積分して
L(φ1,φ2)=r{(φ2)^2-(φ1)^2}/2
になります。φ=inv(a)+a=Tan(a)ですから、AN.2様の答えで合っていると思います。

リンク先を見ましたが、そこでの解析解と書かれているのは間違っています。極座標の表示が怪しいのです。今の場合、動径にあたるのはOPであって、OP=r/Cos(a)であり、偏角は角SOPでこれはinv(a)に等しいです。したがって極座標による曲線長は
L(a1,a2)=∫da*√{{r(-Sin(a))/Cos^2(a)}^2+{r/Cos(a)}^2{Tan^2(a)}^2}
=∫da*√{r^2Tan^2(a)/Cos^2(a)+r^2Tan^4(a)/Cos^2(a)}
=∫da*√{r^2Tan^2(a)/Cos^4(a)}
=∫da*rTan(a)/Cos^2(a)
です。最後Tan(a)=φと置換すれば
=∫dφ*rφ={(φ2)^2-(φ1)^2}/2
で、同一解を得ます。どうもリンク先の人たちは、偏角をa+inv(a)、つまり糸を巻きつけている円柱とOSのなす角と勘違いされているように思います。

お礼

ありがとうございました。すっきりしました。
当方の思い違いをご指摘頂いたことにも感謝いたします。

設計へのハードルはまだ高いのですが、新たな疑問は別の機会によろしく
お願いします。

回答No.4

mis_take

> 今までの書き込みと異なる結論になって驚いています
今までの書き込みというのは
> ∫√{Tan^4(a)+1}da
のことだと思いますが，元の質問で
> インボリュート曲線はインボリュート関数
> ｉｎｖ（ａ）＝Ｔａｎ（ａ）－ａ
> で示されますが、
とあるので
y=tanx-x
で表される曲線の長さを求めたものです。
しかし，これはinvolute曲線の方程式とは違いますよね。
私が誤解をしていたらごめんなさい。

回答No.3

mis_take

> a1,a2ははぎとった角度
> そのものだと思うのですが。

参考URLの図を見てください。
私が剥ぎ取った角θと言ったのは∠SOq のことです。
ａは∠POq（図のθ）のことではないでしょうか。

参考URL：

http://sharp-world.com/sc/excite/calculator/program/text/07.htm

お礼

ありがとうございました。ご提示のＵＲＬとても参考になりました。

回答No.1

adinat

基礎円というのが何なのかわかりませんが、インボリュート曲線の曲線長は積分で
∫√{Tan^4(a)+1}da
になるかと思います。曲線長をインボリュート関数で表す、ということは初等関数で上の積分が解けるか？ということだと思われますが、無理です。楕円積分などを使えば表現はできますが。また特別なa_1,a_2を選べば、きれいな値になるかも知れません。

補足

adinat さん、ありがとうございます。基礎円というのは例えていえば
円柱に糸を巻きつけたときの円柱の断面と同じ半径の円といえばよいので
しょうか。
この質問をしてから QNo.838488 に類似の説明が記載されているのを
知りました。
s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ

ご説明の∫√{Tan^4(a)+1}da　の中の　^ は、どの数値のべき乗でしょうか。
数値積分で行なうとして
角度分割数を全体の長さが２０ｍｍほどと予測して、分割数を２０００程度
にした精度で求めるために数値積分で早く求まる公式を利用したいです。

＞特別なa_1,a_2を選べば、きれいな値になるかも知れません
多分特別な数値にはならないと思うのす。

なお、この質問の目的は　インボリュート歯車の歯先の角に半径ｒ１の丸
みを加工したときの丸みの円弧の始点座標値の算出に利用することです。
ｒ値は近似値でも可能で、円弧はインボリュート曲線と接線である必要は
ないという条件がつきます。（円弧はインボリュート曲線に対して凸にな
ってはいけない。外歯の円弧には接線でつなげる）これはこれで結構難し
いのですが、先ずは円弧の始点座標値を定めるために利用したいと思い
ます。（歯先円弧からインボリュート曲線に沿って１ｍｍの長さの位置の
特定）