数列 漸化式 解法

質問

もともと，物理のバネマス系の他粒子の振動における，基準振動の固有角振動数を求める際にでてきた式です．

w^2*a_n = k(2*a_n - a_n-1 -a_n+1)

つまり，
a_n+1 + (w^2/k - 2)*a_n + a_n-1 = 0

という３項間漸化式の一般項a_nの導出方法がわかりません．
どなたかわかる方，よろしくお願いします．

回答No.1

spring135

(w^2/k - 2)＝pとおくと元の式は
a_n+1 + ｐ*a_n + a_n-1＝0
一般に２階の漸化式
c*a_n+2 + d*a_n+1 +e*a_n＝0
の一般項は
２次方程式cx^2+dx+e=0
の根α、βを用いて
a_n=g*α^n+h*β^n
で与えられる。
定数h,gは初期条件としてのa_1、a_2の値から決まる。
ＱＥＤ
α=(-p-(p^2-4)^.5)/2, β==(-p+(p^2-4)^.5)/2

補足

なるほど．そのような求め方があるのですね．
ありがとうございます．

しかし，僕の質問が言葉足らでしたので，少し補足させていただきます．

今回，0からN+１項までの数列を考え
a_0 = 0
a_N+1 = 0
という条件があります．

教科書で，
「　a_n = a*sin(nα+φ)
　　w^2 = 2k(1-cosα)
が，w^2*a_n = k(2*a_n - a_n-1 -a_n+1)を満たすことは代入して確かめられる．」
と記述してあります．
このa_nおよびw^2はどうやって求めたらいいのかわからなかったのですが・・・
どうしたら導出できるのか，わかりますか？
ささいなことでも，何かわかることがあったら，教えていただけると大変嬉しいです．