媒介変数表示された曲線の面積

質問

次の曲線や直線で囲まれる図形の面積を求めよ。
ｘ＝t-sint,y=1-cost[o≦ｔ≦2π],y=0

二乗してサインコサインは消えたんですが、ｔが残ってしまって、ｔが消去できません。
この問題はどうやって解けばよいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

shinchan_k · ベストアンサー

面積を求めるのは基本的には
∫[a,b]ydx
なんですが、パラメータ表示になっているときには
xとyがtを用いて置換されていると思えばいいんじゃないですかね。
つまり、
y=1-cost,dx=(1-cost)dt
積分区間もxの区間からtの区間に直します。

y=0のとき、t=0,2π
0<t<2πのときy>0となるので、積分区間も0<=t<=2π
となります。
なので、
Ｓ=∫[0,2π](1-cost)(1-cost)dt
=∫[0,2π](1-2cost+(cost)^2)dt
=∫[0,2π](1-2cost+(1+cos2t)/2)dt
=∫[0,2π](3/2-2cost+(cos2t)/2)dt
=[(3/2)t-2sint+(sin2t)/4][0,2π]
=3π
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます(＾＾)/

回答No.2

noname#6715

y>0のとき
xyグラフとx軸,x=α,x=βで囲まれる図形の
面積の求め方は
積分範囲α～βで∫ydxでしたから
∫y(dx/dt)・dtで
∫(1-cost)^2dtです
範囲は0から2πまで

よって・・・・

お礼

参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.1

keyguy

∫y・dx=∫y(t)・(dx(t)／dt)・dt=∫y(t)・x'(t)・dt

補足

そうですかー。