『恒等式名』

質問

( a^2 + b^2 )( c^2 + d^2 )
= {( ac - bd)^2} + {( ad + bc)^2}
= {( ac + bd)^2} + {( ad - bc)^2}

上記の恒等式に名前ってありましたっけ？
申し訳ありませんが教えてください。

P.S.先生が「ラグランジュの恒等式」っておっしゃったのですが明らかに違うんです。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

ラグランジュの恒等式で合っていると思いますよ。
AとBをベクトルとするとき、ラグランジュの恒等式は、
|A×B|^2=|A|^2|B|^2-(A・B)^2
というものです。あるいは、
|A|^2|B|^2=|A×B|^2+(A・B)^2
といってもよい。

ここで横ベクトル表記をしますが、
A=(a,b)、B=(c,d)
としますと、
|A|^2=a^2+b^2、|B|^2=c^2+d^2、
であり、
|A・B|=ac+bd
です。最後は外積の計算が要りますが、
|A×B|=|ad-bc|
となります。要するにベクトルAとBが張る平行四辺形の面積。
というわけで上記の恒等式が成立しますが、
それはまさにラグランジュの恒等式になっています。

参考URL：

http://akademeia.info/main/math_lecturez2/math_bekutoru_daisuu.htm

お礼

なるほど。ベクトルの成分で考えると将に|A×B|^2=|A|^2|B|^2-(A・B)^2ですね。
ありがとうございました。