偏微分の証明問題です。

質問

f(x,y,z)=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)のとき、
Δf=(∂^2)f/∂(x^2)+(∂^2)f/∂(y^2)+(∂^2)f/(z^2)=0を証明したいのですが、
(∂^2)f/∂(x^2)=-(x^2+y^2+z^2)+3x^2(x^2+y^2+z^2)^
(5/2)
(∂^2)f/∂(y^2)=-(x^2+y^2+z^2)+3y^2(x^2+y^2+z^2)^
(5/2)
(∂^2)f/∂(z^2)=-(x^2+y^2+z^2)+3z^2(x^2+y^2+z^2)^
(5/2)

となり、ここからどうすればいいのか分かりません。
教えてください

回答No.2

yama_yama5525 · ベストアンサー

f(x,y,z)=1/√(x^2+y^2+z^2)ですよね。

これは、分数の微分ですね。

とりあえず、∂f/∂xをやってみると、

∂f/∂x={-1/2(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)2x}/(x^2+y^2+z^2)

=-x/{(x^2+y^2+z^2)^(3/2)}

なので、

(∂^2)f/∂(x^2)={-(x^2+y^2+z^2)^(3/2)+x3/2(x^2+y^2+z^2)^(1/2)2x}/(x^2+y^2+z^2)^3

={-(x^2+y^2+z^2)^(3/2)+3x^2(x^2+y^2+z^2)^(1/2)}/(x^2+y^2+z^2)^3

={-(x^2+y^2+z^2)+3x^2}/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)

=(2x^2-y^2-z^2)/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)

になると思うのですが・・・

ちょっと計算間違いしている箇所があるかもしれません。

お礼

yama_yama5525さん、ありがとうございました！！
解けました！！

回答No.1

yama_yama5525

(∂^2)f/∂(x^2)
(∂^2)f/∂(y^2)
(∂^2)f/∂(z^2)

が間違っていると思います。

計算してみましたが、
(∂^2)f/∂(x^2)={2x^2-y^2-z^2}/{(x^2+y^2+z^2)^5/2}
(∂^2)f/∂(y^2)={-x^2+2y^2-z^2}/{(x^2+y^2+z^2)^5/2}
(∂^2)f/∂(z^2)={-x^2-y^2+2z^2}/{(x^2+y^2+z^2)^5/2}

になると思いますので、

これらをすべて足すと０になります。

違ってたらごめんなさい。

補足

すいません。一回目の微分ってそれぞれどうなりました？どうしても回答のようにならないんです。自分の微分のしかたが間違っているのは確かだと思うんですが。お手数ですが計算の途中を教えてくれませんか？