偏微分について

質問

大学1年の者です。
先日課題が出されたのですが、偏微分の基礎もいまいちできていないので困っています。

z=f(x,y), x=rcosθ, y=rsinθのとき、次の式を証明せよ。
(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2=(∂z/∂r)^2+1/r^2(∂z/∂θ)^2

他の方の質問も読みましたがいまいちわかりません。
どなたかご教授お願いします。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

ちょっと意地の悪い問題ですね。

右辺の z は独立変数が r とθの関数で

g(r, θ) = f(rcosθ,rsinθ)

という別の関数です。偏微分では入力が異なって出力が同じ意味になる
関数名を同じにしてしまうということが普通に行われるので注意が必要です。

∂f/∂x=∂z/∂x
∂f/∂y=∂z/∂y

合成関数の偏微分から

∂g/∂r = (∂f/∂x)cosθ + (∂f/∂y)sinθ
∂g/∂θ = (∂f/∂x)r(-sinθ) + (∂f/∂y)rcosθ

(∂g/∂r)^2 + (1/r^2)(∂g/∂θ)^2 = (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2 = (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2

お礼

お礼が遅れてしまいすみません、ありがとうございました。

回答No.2

info222_

z=f(x,y)
x=rcosθ, y=rsinθ

∂z/∂x=f_x, ∂z/∂y=f_y, ∂z/∂r=f_r, ∂z/∂θ=f_θ
と書くことにすると

ｆ_r=f_x*x_r+f_y*y_r=f_x*cosθ+f_y*sinθ
f_θ=f_x*x_θ+f_y*y_θ=f_x*(-rsinθ)+f_y*rcosθ
=r(f_ycosθ-f_xsinθ)

(∂z/∂r)^2+(1/r^2)(∂z/∂θ)^2
=(f_r)^2+(1/r^2)(f_θ)^2
=(f_x*cosθ+f_y*sinθ)^2+(f_ycosθ-f_xsinθ)^2
={(f_x)^2+(f_y)^2}*{(cosθ)^2+(sinθ)^2}}
+2(f_x*f_y-f_x*f_y)cosθsinθ
=(f_x)^2+(f_y)^2
=(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2
(証明終り)

お礼

お礼が遅れてしまいすみません、ありがとうございました。