コーシーの平均値の定理の意味

質問

（コーシーの平均値の定理）
２つの関数ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）が［a,b］で連続、（a,b)において微分可能であるとする。
ｇ(a)≠g(b)かつ（a,b)でｇ´（ｘ）≠０のとき、

a<c<bかつ
｛ｆ（ｂ）－f(a)｝／｛ｇ（ｂ）－ｇ（a)｝=f´（ｃ）／ｇ´（ｃ）
を満たす実数ｃがそんざいする。
（解釈）
数直線上に２点Ｐ，Ｑがあり、、これらの点が数直線上を動くとする。
時刻ｔでの位置をｆ（ｔ）ｇ（ｔ）とするｔ＝aからｔ＝ｂの間にＰ，Ｑが進んだ距離はｆ（b)-f(a),g(b)-g(a)である。
これは、これらの速さの比に等しく、
｛ｆ（ｂ）－f(a)｝／｛ｇ（ｂ）－ｇ（a)｝がf´（ｃ）／ｇ´（ｃ）と等しくなるｃが存在する。
速さの比に等しいことはわかるのですが、｛ｆ（ｂ）－f(a)｝／｛ｇ（ｂ）－ｇ（a)｝がf´（ｃ）／ｇ´（ｃ）と等しくなるｃが存在する
理由がわかりません。教えてください。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

意味だけなら、ふつうの平均値の定理を、媒介変数表示された曲線の形に言い換えただけです。

［平均値の定理］
　もろもろの成立条件は自分で補って頂くとして、y(x)に対して、

　　(y(B)－y(A))/(B－A)＝y’(C)

　となるA＜C＜Bが存在する。

　ここで同じy(x)が、y＝f(t)かつx＝g(t)と媒介変数表示されたとすると、y(Ｂ)＝f(b)，y(A)＝f(a)、Ｂ＝g(b)，A＝g(a)とおき、

　　y'＝dy/dx＝f’(t)/g’(t)

に注意すると、(1)をこれらで置き換えて、

　　(f(b)－f(a))/(g(b)－g(a))＝f’(c)/g’(c)

となるa＜c＜bが存在するはず・・・。

　「するはず」・・・の部分を示すのが、証明ですけどね(^^；)。

回答No.1

stomachman

p(x) = f((b-a)x+a)-f(a)
　　q(x) = ( (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) ) (g((b-a)x+a)-g(a))
とおくと、
　　p(0)=q(0)=0
　　p(1)=q(1)=f(b)-f(a)
になる。そこで
　　r(x) = p(x) - q(x)
という関数を考えると、明らかにrも[a,b]で連続かつ(a,b)で微分可能であり、
　　r(0) = r(1) = 0
だから、平均値の定理から
　　r'(t) = 0
を満たすt∈(0,1) が存在する。
　これを幾何学的に言うなら、「点(0,0)と点(1,0)とをどんな曲線でつないでも、それが滑らかな曲線なら、途中のどこかで傾きが0になる」ということですね。また、ご質問のように速さの概念を使って言うなら、「時刻0に位置0を出発して、時刻1に位置0に戻ってきたのなら、途中で速さが0になった時点があるはず」ということになる。
　ともあれ、このtについて、
　　p'(t) = q'(t)
になっている。
　では、p'(t)とq'(t)をそれぞれ計算して、この等式に代入してみて下さい。（その際に、(b-a)t+a を c と書くことにするのがお薦めです。）