グラフを用いる。無理不等式。。。＞＿＜

質問

グラフを用いて、次の無理不等式をもとめよ。

（１）√（ｘ＋７）＞ｘ＋｜ｘ－１｜
（２）√（２ｘ＾－２ｘ＋１）＞ｘ＋１

このもんだい、ゼンゼン解りません。。
（１）は
私は、まず√があるので、それを外すために二乗しました。（でも絶対値のカッコがあるんですけど。。）
とりあえず、右辺のｘだけは左に移して

⇔｛√（ｘ＋７）ーｘ｝＾２＞｜ｘ－１｜）＾２
。。。これ以上できません！＞＿＜　ごめんなさい！！

（２）両辺を二乗したら、
⇔２ｘ＾２－２ｘ＋１＞（ｘ＋１）＾２
⇔２ｘ＾２－２ｘ＋１＞ｘ＾２＋２ｘ＋１
⇔ｘ＾２－４ｘ＞０？
。。。これで、どうやってグラフを書くのでしょうか？？＞＿＜

ちなみに、教科書の答えをみると図だけが書いてあるのですけど。。。
（１）は放物線で上半分だけｘ軸より上にでているのと（２）上下の双曲線で上だけ普通で、下の図は点線でした。つまりなんらかの範囲分けだとおもいます＞＿＜

誰かおしえてください＞＿＜

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

(1)xの範囲を場合わけしてください。
√内≧0からx≧-7を考慮して
A)-7≦x≦1
B)x＞1
に場合わけしてから自乗すればいいですね。
A)→√（ｘ＋７）＞ｘ－(ｘ－１)＝1
B)→√（ｘ＋７）＞ｘ＋(ｘ－１)＝２ｘ－1（＞0）

この問題は二乗する前に左辺と右辺のグラフを描いて下さい。グラフの交点の座標は不等号を＝に変更して求めます。
左辺：y=√xのグラフ（y^2=xの上半分のグラフ）をx軸の負の方向に7だけ平行移動したグラフです。

解答→-6＜x＜2

(2)左辺のグラフ
√内：2x^2 -2x+1=2(x^2 -x)+1=2{x-(1/2)}^2 +(1/2)＞0
y=√(2x^2 -2x+1)=√[2{x-(1/2)}^2 +(1/2)]＞0ですので
はy^2=2x^2 -2x+1のグラフのy＞0の部分だけです。
移項して双曲線の標準形に直せば
(y^2)/2 -{x-(1/2)}^2 ＝1　（y＞0）
これは双曲線の上側半分のですね。
漸近線は(y^2)/2 -{x-(1/2)}^2 ＝０から出てきますね。
左辺、右辺のグラフを描いてください。
交点のｘ座標は左辺＝右辺と置いて求めます。

＞両辺を二乗したら、
＞⇔２ｘ＾２－２ｘ＋１＞（ｘ＋１）＾２
＞⇔２ｘ＾２－２ｘ＋１＞ｘ＾２＋２ｘ＋１
＞⇔ｘ＾２－４ｘ＞０？
この式の変形で
不等号を＝に置き換えて
やると
ｘ＾２－４ｘ＝ｘ（ｘ－４）＝０
ｘ＝０，４が出て来ます。
左辺のグラフが右辺のグラフの上になる範囲は
ｘ＜０またはｘ＞４ですね。これ解ですね。

補足

移項して双曲線の標準形に直せば
(y^2)/2 -{x-(1/2)}^2 ＝1　（y＞0）
これは双曲線の上側半分のですね。
⇔これはどうやったらこうなるのでしょうか？
私は、ｙ＾２＝２ｘ＾２－２ｘ＋１　を移項したら
２（ｘ－1/2)＾２－ｙ＾２－ｙ＾２＝－1/2としました。（ｙ＾２を右辺に持っていって、右辺にあった1/2はさらに隣に移して符号を変えました）
したら、上の式をみると、右辺がー1/2なので両辺に２を掛けて、４（ｘ－1/2)＾２－２ｙ＾２＝－１としました。　そのあと、このグラフの頂点は４ｘ＾２－２ｙ＾２＝－１の式と見て、ｘ＝０の時と代入したら、
ｙ＝±√2/2となりました。⇔（0.±√2/2)となりました。これに（1/2.0)を足してもとの式の形とみて、頂点の座標は（1/2,＋√2/2) (1/2,-√2/2)となりました>_<

漸近線は(y^2)/2 -{x-(1/2)}^2 ＝０から出てきますね
⇔
でも、漸近線が求められません＞＿＜　どうすればいいですか？あと、（１）は解りました、（２）もおかげで理解できました！！！！