6-17 助けてください 高校数学の確率の問題です
2種の文字A,Bの順列について考える 同一文字の1つづきを1つの連という 例えばAABABB
ではAA,B,A,BBの4個の連を持つ A,Bを5個ずつ計10個を1列に並べるときの連の個数の期待値を求めよ
解説 A,B5個ずつ計10個の順列は[10]C[5]とおり考えられるが、そのうち連がk個であるものがa[k]通りあるとすると,たとえばa[5]については5連のうち3連がAで2連がBのものと,3連がBで2連がAのものとが考えられるが
5個を3分割する方法は○↓○↓○↓○↓○の4本の↓から2本を選ぶ方法に対応し(たとえば左から2,4番目の↓を選んだとすると○○↓○○↓○というように5個の○を3分割すると考える)
その個数は[4]C[2]で一般のk分割だと[4]C[k-1]通りであるから a[5]=[4]C[2]・[4]C[1]+[4]C[1]・[4]C[2]=2[4]C[2]・[4]C[1]
このようにしてa[2]～a[10]を求めると
a[2]=2[4]C[0]・[4]C[0]=2,a[3]=2[4]C[1]・[4]C[0]=8,
a[4]=2[4]C[1]・[4]C[1]=32,a[5]=2[4]C[2]・[4]C[1]=48,
a[6]=2[4]C[2]・[4]C[2]=72,a[7]=2[4]C[3]・[4]C[2]=48,
a[8]=2[4]C[3]・[4]C[3]=32,a[9]=2[4]C[4]・[4]C[3]=8,
a[10]=2[4]C[4]・[4]C[4]=2
したがって求める期待値は
1/[10]C[5]・(2・2+8・3+32・4+48・5+72・6+48・7+32・8+8・9+2・10)=1512/251=6
別解 a[2]=a[10],a[3]=a[9],a[4]=a[8],a[5]=a[7]が成り立つから、求める期待値は
1/[10]C[5]・{(2a[2]+10a[10])+(3a[3]+9a[9])+(4a[4]+8a[8])+
(5a[5]+7a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・{(6a[2]+6a[10])+(6a[3]+6a[9])+
(6a[4]+6a[8])+(6a[5]+6a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・Σ[k=2→10]6a[k]=6 (Σ[k=2→10]a[k]は順列の総数[10]C[5]に等しい)
研究 一般にn個ずつだと、連の個数の期待値は別解の解法によりn+1個になることがわかります (nが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるわけである)
以下疑問点
解説のA,B5個ずつ計10個の順列は[10]C[5]の所なのですが、順列だから10!じゃないんですか？
5個を3分割する方法は○↓○↓○↓○↓○の4本の↓から2本を選ぶ方法に対応しの部分なのですが
a[5]というのは連が5個の場合の数なのですが、それを求めるために何故5個を3分割する方法を考えるのですか？
a[5]を求める式a[5]=[4]C[2]・[4]C[1]+[4]C[1]・[4]C[2]=2[4]C[2]・[4]C[1]となっているのですが、a[5]を求める式が何故このような式で表すことができるのか分からないです
a[2]～a[10]も同じように書いていますが分からないです
別解の求める期待値が1/[10]C[5]{(2a[2]+10a[10])+(3a[3]+9a[9])+(4a[4]+8a[8])+(5a[5]+7a[7])+6a[6]}と表せるのが何故なのか解説を読んでも分からないです
その下のこの形をまとめて1/[10]C[5]・Σ[k=2→10]6a[k]=6としているのもどうやったのか分かりません
横の()の中のΣ[k=2→10]a[k]は順列の総数[10]C[5]に等しいというのも何故そう言えるのか分かりません
研究のnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるとあるのですが、何故そう分かるのですか？
補足
やはりそうですか・・・・・ そんな気はしてた(80％そう思ってた)のですが、 同じ文字が連続しては1つでもみなすのですか、参考になりました。