自然対数の微分、関数

質問

関数f(x)=logxがあり,曲線y=f(x)上の異なる2点をA(a,f(a)),
B(b,f(b))とする。また,点A,Bにおける曲線の法線をそれぞれl,mとする。ただし,
対数は自然対数とする。'
(1)l,mの方程式を求めよ。
(2)l,mの交点をCとする。bがaに限りなく近づくとき,Cが近づく点C。のx座標は
2a+1/aであることを示せ.
(3)(2)の点C。について,線分AC。の長さをLとする。aが正の値をとって変化するとき,
Lを最小にするaの値を求めよ。

(3)の問題が分かりません。解答の回答宜しくお願いします。

回答No.6

oyaoya65 · ベストアンサー

＞AC間は√{(2a+1/a)-a)^2+(log(2a+1/a)-loga)^2}だというのは分かります。

このLの式が間違っているため、この先の計算が進まないのです。（問題集や出題される問題は必ず解けるようにできています。解けない時は計算ミスを疑ってください。）

Lの式の元になった点Aと点Cの座標が正しか確認してください。

正しいLの式は
L=√[{a+(1/a)}^2 +(a^2 +1)^2]

√が入ったまま最小値を求めようとすれば計算が複雑になるだけですのでL^2で考えた方が良いですね。
最小を考えるときはL^2で考えても最小を与えるaの値は同じになります。

後はA#2のヒントどおりやればできると思います。

お礼

昨日より、二日に渡り何度も回答を頂き、先ずはお礼申し上げます。
L^2の式は、私が勘違いしていました。oyaoya65さんのご指摘の通りです。
上記の式を微分したらa=1/√２となりました。

＞直線ではAC間のx座標の差が最小になるところ,つまり(2a+1/a)-a=a+1/aが最小となるa=1が、AC間も最小になるのでは。＞
というのは関数の傾きが変化するのを見落としていたと、理解してよろしいんでしょうか。
昨日からの問題が、ようやく理解できたように思います。
どうも皆様、ご協力有り難うございました。
今日夜中か、明日にでも理解できたと言うことで、閉鎖指していただきます。

回答No.5

dczuki

かんぜんに問題を把握してませんでした、すいません。＃４さんのヒントが正しいです。

回答No.4

oyaoya65

#2,3です。
A#3の補足です。

＞(2a+1/a)-a=a+1/aが最小つまりa=1の意味ではないのでしょうか。

{(2a+1/a)-a}は点Aと点Cのx座標の差です。
線分ACの距離Lではありません。

Lは次式で求めます。

L=√｛(x座標の差)~2+(y座標の差)^2｝

回答No.3

oyaoya65

＞(2a+1/a)-a=a+1/aが最小つまりa=1の意味ではないのでしょうか。

上記は間違っています。

質問者さんの分かるところまで、または最後までをお書きになって、分からない部分を質問するようにしてください。
質問者さんが作成されている解答の一部だけ取り出して質問されても、間違っている箇所の指摘または修正の回答ができませんよ。

お礼

すいません、一部修正です。
この計算が出来ないから→この式の最小値が求められないから

補足

質問には、Lを最小にするaの値を求めよ。としか、書かれていません。
直線ではAC間のx座標の差が最小になるところ,つまり(2a+1/a)-a=a+1/aが最小となるa=1が、AC間も最小になるのでは。
AC間は√{(2a+1/a)-a)^2+(log(2a+1/a)-loga)^2}だというのは分かります。この計算が出来ないから、質問したのですが、最初のdczukiさんのヒントのように、そもそも、AC間の距離計算を要求していない以上、距離を求める必要がないのではないでしょうか。
上記の式の最小値を求めようとすると、上記の式を微分することになるのでしょうが、そう簡単な計算ではなく、ここで行きずまりました。

回答No.2

oyaoya65

ヒント
(3)a=1/√2

L^2=(a^2+1)^3/ a^2=f(a^2)=f(s)
s=a^2>0
f(s)=(1+s)^3 /s
f'(s)=(2s-1)(s+1)^2 /s^2
s>0 f'(1/2)=0,Min{f(s)}=f(1/2)=27/4
Min{L}=√{f(1/2)}

お礼

oyaoya65さん、dczukiさん回答有り難うございました。
今日は、もう寝ます。又宜しく。

補足

dczukiさんのヒントで分かりかけたかと思ったのですが、又分からなくなりました。
(2a+1/a)-a=a+1/aが最小つまりa=1の意味ではないのでしょうか。

回答No.1

dczuki

<注意>
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とありますので、ヒントだけを言いたいとおもいます。
線分ACはあくまで直線l上にありますので、ｘの変化が最小のときLは最小になると思いませんか?

お礼

あ、分かったような気がします。もう一度考えます。
ヒント有り難うございました。

補足

折角、ご回答頂きましたが、どうも理解しかねます。
理解不十分ですみません。