数(2)・・三角関数

質問

tanｘ/２＝t とおくときの　sinｘ、cosｘをtを用いて表す方法と
sinｘ＋cosｘ＝１/５のときのtanｘ/２の値はいくつになるのでしょうか？
できるだけわかりやすくお願いします

回答No.3

yusuke641 · ベストアンサー

no2で回答したものです。
前の回答は
tanx/2　を　角度がｘ/２ として考えました。
もしかしたら tanxの　１/２　という意味かもしれないので、
補足回答します。

もしtanxの1/2だとしたらもっと簡単になります。

与式を2倍して、
tanx=2t

tanx=sinx/cosxを用いて、
sinx/cosx=2t

sinxについて解いて
sinx=2tcosx

三角関数の相互関係の　sinx^2+cosx~2=1　に代入して

4t^2cosx^2+cosx^2=1

整理して

cosx^2(1+4t^2)=1

cosx^2=1/(1+4t^2)

cosx=√1/(1+4t^2)

です。
sinxは 2倍した元の式の　sinx=2tcosx　
に代入すれば、

sinx=2t√1/(1+4t^2)
となります。

回答No.5

KaitoTVGAMEKOZOU

皆さんのご回答でいいのだとすると、えらく時間がかかるね。もう少し簡単にやらないと、解答欄にうまらないし、時間の節約を心がけないと、人生で損だよ。

sinｘ
＝２sin(ｘ/２)cos(ｘ/２)
＝｛２sin(ｘ/２)cos(ｘ/２)｝／{sin^2(ｘ/２)＋cos^2(ｘ/２)} （∵これは説明の必要はないよね？）
＝２tan(ｘ/２)／{１＋tan^2(ｘ/２)}　　　（両辺をcos^2(ｘ/２)で割った！）
＝２ｔ／(１＋ｔ^2)

cosｘ
＝２cos^2(ｘ/２)－１
＝[２／{１＋ｔan^2(ｘ/２)}] －１
＝{１－ｔan^2(ｘ/２)}／{１＋ｔan^2(ｘ/２)}
＝(１－ｔ^2)／(１＋ｔ^2)

計算は上手くやれば、多少計算が苦手な人でも乗り越えられます。がんばって克服してください。

回答No.4

Rossana

sinx=sin(x/2+x/2)
=sin(x/2)cos(x/2)+cos(x/2)sin(x/2)
=2sin(x/2)cos(x/2)
=2sin(x/2)cos(x/2)/[{sin(x/2)}^2+{cos(x/2)}^2]
(∵(sinθ)^2+(cosθ)^2=1,「^2」は２乗を表す)
=2[sin(x/2)/cos(x/2)]
÷[{sin(x/2)/cos(x/2)}^2+{1}^2]
(∵分母分子を{cos(x/2)}^2でそれぞれ割った)
=2tan(x/2)/[{tan(x/2)}^2+1]
=2t/{t^2+1}

cosx=cos(x/2+x/2)
=cos(x/2)cos(x/2)-sin(x/2)sin(x/2)
　　　　　　　　　(∵加法定理）
=[cos(x/2)cos(x/2)-sin(x/2)sin(x/2)]
÷[{sin(x/2)}^2+{cos(x/2)}^2]
(∵(sinθ)^2+(cosθ)^2=1,「^2」は２乗を表す)
=[1-{sin(x/2)/cos(x/2)}^2]
÷[{sin(x/2)/cos(x/2)}^2+1]
(∵分母分子を{cos(x/2)}^2でそれぞれ割った)
=[1-{tan(x/2)}^2]
÷[{tan(x/2)}^2+1]=[1-t^2]/[t^2+1}

分からない部分があったら補足に記入してください。

回答No.2

yusuke641

こんにちわ。とりあえず、最初のほうだけ。
角度をいちいち書くとわかりずらくなるので、
　x/2はx' xは普通にｘあらわすことにします。
三角関数の相互関係より　tanx=sinx/cosx　を用いて

sinx'/cosx'=t
両辺にcosx'をかけて

sinx'=tcosx'
両辺を二乗して

sinx'^2=t^2cosx'^2

半角の公式より、sinx'^2=(1-cosx)/2、cosx'^2=(1+cosx)/2　を用いて

(1-cosx)/2=t^2(1+cosx)/2
両辺を2倍して

1-cosx=t^2+t^2cosx
これを整理すると

cosx(t^2+1)=1-t^2
よって

cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
だと思います。

sinxは　三角関数の相互関係のsinx^2+cosx^2=1に代入して、
sinxについて解けばデルと思います。

自分が出した答えでは

sinx=√t(1+t)/(1+t^2)　
とでました。　上の式はすべてルートの中です。

いかかでしょうか？

回答No.1

noname#4260

はじめまして。ｙａｓｕａｉｂａです。よろしくお願いします。

　「ｔａｎｘ／２」というのは、ｔａｎ［ｘ／２］（角度が１／２）なのか、ｔａｎｘ自体を１／２にしているのかによって解釈が変わってきますので、ここのところをフォローお願いします。

補足

すいません問題をそのまま写してしまったので
全く気づきませんでした。
角度が１/２の方です（半角の公式の範囲です）