４次元ってどんなの？

質問

１次元って、平面（点）
２次元って、タテ、ヨコ（線）
３次元って、タテ、ヨコ、高さ（立体）
と、私は教わりました。
じゃあ。４次元って？

存在しない次元と聞きましたが、「４次元」って言葉が
あるくらいなんだから、４次元の定義だってあるハズ！
と思い調べました。
でも分からない！(>_<)ってコトでここに書きました。

４次元って、タテ、ヨコ、高さ、そして何ですか？
存在しますか？
５次元、６次元の定義もありますか？

すごく気になってます。ご存知の方、教えてください！
あ、私はただの一般人です。数学は全然分かりませんf^_^;
猿にも分かるような説明でお願いします。

回答No.1

uni050 · ベストアンサー

まず簡単なところで
0次元：点
1次元：直線
2次元：平面（xy平面）
3次元：空間（xyz空間）
となります。ここでこの次元がどのように増えているかですが、ある次元に対しすべての方向に垂直（90度）であるような直線を引き、それを座標軸とすることによって次元を増やします。

つまり、点（0次元）に対し全ての方向に垂直であるような直線を引くことによって1次元が定義され、この直線に対し全ての方向に垂直であるような直線を引くことによって2次元（平面）が定義されるというわけです。

ここで4次元ですが定義だけでいえばxyz軸全てに対して垂直な直線を引き、それをw軸とでもすることによって4次元（xyzw空間）を定義することはできます。同様に5次元、6次元も定義できます。

しかしながら3次元人には今ある空間の全ての方向に対し垂直な方向というものを見つける事はできません。（少なくとも私にはできない）一般には時間軸が第4の方向と言われていますが証明は不可能かと思います。当然ながら4次元がわからないのに5次元、6次元はさっぱりわかりません。

後もうひとつ聞いた話で宇宙は有限の風船のような物であり、3次元宇宙の外側には4次元宇宙が広がっていて、その4次元宇宙の中には同じような3次元宇宙がたくさんある、という話も聞いたことがあります。（かなりいいかげんかもしれないです）

こういう風に考えるとかなりいやな考えですが私達の身近にある2次元空間（TVや漫画など）が4次元人から見た私達とも考えることもできます。

考えたくもありませんがね。

お礼

あっ、０次元なんてものもあったんですね！
次元の増え方はなんとなく分かったんですが、
やっぱり難しいやf^_^;でも形は少し見えました。
回答ありがとうございました！

回答No.9

doggie

蛇足かもしれないが、burgess_shaleさんの最後の一言にどうしてもややおかしいと思います。

　二次元の紙に四次元を描くことが不可能だとすれば、普段私達が二次元の紙に三次元を描くことも変ではありませんか？簡単的に言えば、あれはイメージ図…えーと、ある角度からの俯瞰図と考えてもいいでしょう。ですからこの意味で四次元を「描く」ことも可能だと思います。

　私は昔々四次元の図、というよりイメージ図を本の中で見たことがありそうな気がしますけど、確かに雪だるまの腰にドーナッツのような…いや、よく覚えてはいません。要するに、色んな「角度」からの図を合わせば、四次元空間を表現することも出来ます。見るのはちょっと大変けれど（笑）。まぁ、私達が紙の上に描いた二次元の図を勝手に三次元的に想像するのも、考えると凄い事ではないか。

　余談ですが、われわれは三次元人とは言えないかもしれません、なにしろこの世界を組成する基本粒子は十次元であると言われています。十って…深追いは禁物ですね。^^；

お礼

そうですね、イメージとして描くことは可能かと私も思います。
しかし、それを確かめる術を私たちは持っていないんですよね。果たして４次元が存在するのかどうかすら。
そういった事を考えるって、すごく素敵だな、って思います。
それにしても、我々は一体何次元人なんでしょうね。
本当に面白いと思います。回答を下さった方に、本当に感謝します。
回答ありがとうございました！

回答No.8

burgess_shale

初めまして、marimo-28さん。
質問のしかたと回答に対するコメントから直感的な回答を望んでらっしゃるようなので、私も直感的な回答をさせて頂きマァス。

皆さんからの回答からも分かるように、直感的にはn次元のモノを展開するとn-1次元になることはいいと思うので（そもそも展開とは次元を1つ減らすことですが…）、それを踏まえて立方体を展開してみます。すると6個の正方形が出来るので、今度はその正方形を1つの面とするような立方体を作ってみましょう。
6個の立方体が隣り合って十字を形作っているのが出来ましたね？
そこで今度はそれを先ほど立方体を展開したのと逆の操作をしてみましょう。
私達3次元の住人には立方体の内側で四つの立方体が重なってしまいますが、4次元の世界では内側で重なることもなく別の立体（と言っていいのかかなりアヤシイですが）が出来あがります。

私の周りにはこれを紙に書いて説明するように迫る人がかなりいますが、そもそも三次元に住む私達がニ次元の紙に四次元を描くこと自体が不可能だと思うのでそういうことはしたことがありません。

お礼

burgess_shaleさんの説明は、映像としてイメージしやすかったです。
４次元とは、３次元の連続してるもの、という考えがなんとなく
あったのですが、３次元とは全然別の形、というか性質というか、を持ったものなのかしら。う～む。
回答ありがとうございました！

回答No.7

stork

０次元＝点
１次元＝線
２次元＝面
３次元＝立体

専門家ではないので恐縮ですが、他の方とは違った意見をもっています。６面体立体の次元は、たて、よこ、たかさで表されると思いますが、本来の意味は、「次元が違う」のように立場、見方や切り口を指すと思います。

つまり、３次元＋時間軸で４次元とするのは間違はいませんが、あくまで「たとえば」の話です。２次元の長方形が時間を追って大きさが変わるとしたら２次元＋時間軸でも立派に３次元になります。

また、直線が時間で長さが変わるとしたら長さ＋時間で２次元としても良いと思います。
さらにその直線の色も変わるとしたら、長さ、色、時間で３次元の要素が必要です。

実世界において例を出すと、世界の全人口のデータあります。これだけでは０次元です。年別に広がりをもたせると１次元です。さらに、「国」という切り口を加えると、年、国で２次元の広がりもった表になります。性別を加えると３次元になります。

年別の１次元のデータしか持っていない人に、最低２次元のデータ必要な「日本の昨年の人口は？」と訊ねても「次元が違うので分からない」となります。

次に５次元、６次元の話に移ります。
６面体の立体は、たて、よこ、たかさの３次元で表されます。時間による変化を見たいとしたら、これに時間という要素を加えて４次元になります。さらに色が変わるとこの要素を加味して５次元。さらに重さが変わるとしたら、重さという要素を加味して６次元。切り口が増えることにより無限に広がります。

お礼

もしかして「次元」って色んな捉え方、考え方があるんですか？
これといった定義って無いんでしょうか？
「色」や「重さ」まで、次元の一つの要素として扱えるんですか？
う～む☆難しいけど、すごく奥が深いですね、「次元」って！
なんだか一つの考えに囚われてはいけないんだなぁ、って思いました。
回答ありがとうございました！

回答No.6

Pesuko

昔聞いた考え方を。
仮に２次元人が存在したら、紙上の絵に書いたような人がおり、２次元人同士では認識できるが、３次元人の私たちは見えない。
その２次元人の間に私たちが鉛筆で線を一本引くと、２次元人からは急に目前に物体が現れたように見え、何処からきたはまったく解らない、紙を破いて穴をあけると突然空間が無くなる・・。

そうすると、もし４次元人がいても私たちの眼には認識できず、急に物体が現れたり、無くなったりしたとき４次元人のいたずらかもね。

お礼

（笑）これも面白い。
４次元について質問したけど、科学的な回答から、おとぎ話風の回答まで、こんなにも幅広い回答が返ってくるとは思いませんでした☆
４次元ってホントに面白い♪
回答ありがとうございました！

回答No.5

stomachman

直交する軸を持つ４次元空間、という概念は、現実の３次元空間＋時間（これを時空と言います）の４次元とは別の概念です。

　３次元空間なら、そこに置いたものは自由に動かしたり、回転したりできますね。しかし時空ではそうは行きません。過去と未来を１８０度ひっくりかえすことはできないでしょう？
　自由に回転できないような多次元空間なら、幾らでも現実に存在します。たとえば３次元空間の各点<x,y,z>にそれぞれ、磁場<b>,電場<e>,重力場<g>があるとすると、これを一つにまとめて<x,y,z,b,e,g>と表すことができる。６次元ですね。
　ちょっと抽象的な考え方ですが、関節が１０個あるロボットがどういう姿勢をとっているか、というのを１０次元空間で表すこともできます。関節１の角度をθ[1]、という風に表せばロボットの姿勢は<θ[1],θ[2],....,θ[10]>という１０次元空間（こういうのを状態空間と言います）の中の１点に対応している。
　あるいはN個の粒子がそれぞれ位置<x[k],y[k],z[k]> にあって速度<Vx[k],Vy[k],Vz[k]>(k=1,2,...,N)で動いている、という配置は<x[1],y[1],z[1],Vx[1],Vy[2],Vz[3],x[2],y[2],z[2],Vz[2],....,Vz[10]>という６０次元の状態空間の中の１点でこれを表すことが出来ます。
　これら、時空や状態空間では自由な移動、回転が許されません。いわば記述法としての多次元空間です。

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　それに対して、１次元、２次元、３次元の幾何学的な空間（ユークリッド空間）を拡張したN次元空間というものを数学的に定義し、取り扱うことができ、ここでは平行移動や回転が自由自在です。実在しているわけじゃないのですが、数学の計算を行う上では非常に便利なので、当たり前のように使われています。（この事情は、実数（＝小数点以下無限桁ある数）が日常には全く現れないにも関わらず、普通に使っている、というのと似たところがありますね。）

　少し難しくなるけど、ここで逃げちゃいけない。もうちょっとがんばろう。
　３次元空間にある物、というのは沢山の点が集まって出来ていると考えられます。この物を動かしたり回すには、物を構成している点を全部一斉に別の場所に動かしたり回してやれば良い。数学ではそのように考えます。ですから、点を正しく動かす方法が分かれば、物を動かしたり回す方法も出来たことになる。

　３次元空間の座標は<a,b,c>のように３つの数値の組（３次元ベクトル）で表されています。同じように４次元空間の座標は<a,b,c,d>のように４つの数値の組（４次元ベクトル）で表されます。３次元での平行移動というのは、<a,b,c>に別の３つの数値の組<u,v,w>を加えて、<a+u,b+v,c+w>に「変換する」という操作です。x軸の方向にuだけ動かし、y軸の方向にv、z軸の方向にwだけ移動したということです。
　４次元ならどうすれば良いか、もうお分かりですね。点<a,b,c,d>を動かすということは<a+u,b+v,c+w,d+p>という風にそれぞれの数に幾らか動かしたい分を加えてやるだけです。

　３次元空間での回転はちょっとややこしい。x軸に直交する平面上で<a,b,c>をθ度回す、という操作をすると<a, b cosθ-c sinθ, c cosθ+ b sinθ>になります。y軸やz軸に直交する平面上での回転も同じ要領で、たとえばz軸に直交する平面上で回すと<a cosθ- b sinθ, b cosθ+a sinθ, c>になる。４次元空間でも同様のやり方で、回転させることができますが、たとえば「x軸とy軸に直交する平面上で<a,b,c,d>をθ度回す」という操作をする。<a, b,c cosθ-d sinθ,d cosθ+c sinθ>になります。
　ここで「x軸とy軸に直交する平面」ってのは「x-y平面と直交する平面」という意味です。４次元では４つの軸が互いに直交しています。（Mohicanさんがちょっと触れていらっしゃるように）３次元で平面に直交しているのは直線ですけど、４次元だと平面に直交するのは平面になる。ですから、「x-y平面と直交するもの」と言えば平面であり、平面を指定したければ別の平面をひとつ決めてやる必要があるんです。

　３次元空間では、以上の、「平行移動」「各軸を中心とする回転」を組み合わせることによって、物の形を一切変化させずに自由に動かしたり回したりすることができる。４次元でも全く同じです。

　このように数式を使って「物を動かす、回す」という操作を表すことによって、５次元でも６次元でも、何の困難もなく簡単に取り扱うことができる。だから現実の３次元空間の中にいる我々が「４本目の軸はどっちにある？」と言って探しても、指さすことはできませんが、数式の上ではいとも簡単に「<0,0,0,0>と<0,0,0,1>を通る直線」と表すことができちゃう。
　ここが数学の面白いところです。

　もう少し詳しく知りたいとお思いなら、「行列」を使った「線形代数」の初歩を勉強なさると良いと思います。近頃ではこれは確か、中学あたりから勉強する過程だったと思うな。ですから、決して分からないほどではありません。本屋で優しそうな本をじっくり探してみてください。

お礼

すんごい難しそうだったので「ぎゃ～」って
思いましたけど、読んでみたらとても理路整然としていて
イメージがつかみやすかったです。素晴らしいですね♪
４次元って数式にしちゃうと、こんなに簡単に表せちゃうんですね。目からウロコです☆
回答ありがとうございました！

回答No.4

ranx

回答者の皆さん、アインシュタインに洗脳されていませんか？
彼は時間を長さと等価なものとして物理学の理論を構築したわけですけれど、
数学の問題として考える場合、４番目の次元が時間でなければならない理由は
全然ないはずです。
要は、タテ・ヨコ・高さと独立な量であればなんだっていいわけです。
「ｘｘさ」という量を、勝手に定義しちゃえばいいんです。
決まった「定義」は無いと思いますが、７次元・８次元・・・いくらだって
考えられます。一般に「ｎ次元」が考えられるわけです。
４次元以上、どれだけ次元が増えても成立するけれど、３次元の時だけはよく
分からない、なんていう命題だってあります。

お礼

今の一般的な次元の考え方って、アインシュタインのものだったんですか？
確かに、ranxさんみたいな自由な考えもアリですよね。
しかも、私たちの居る３次元が、実はよく分からない、なんて。
面白いなぁ♪
回答ありがとうございました！

回答No.3

Mohican

回答になってませんが、おもしろい話を前に聞いたことがあります。ちなみに論理的にまちがっているのかどうなのかよくわかりませんが・・・。
　２次元（線）をスパッと切ると、その断面は１次元（点）。そして３次元（立方体）をスパッと切るとその断面は２次元（平面）。４次元（時間）をスパッと切るとその断面?は３次元（時間ごとの立方体）。よって４次元は３次元に時間の概念がプラスされたもの。だそうです。
　なんとなくうなずける話でした。これってどうなんですかね？回答じゃなくて質問になっちゃっいました。　笑

お礼

おぉ～！ホントだ！☆
面白い！すごく分かりやすいし。
でも、私に質問しちゃダメですよぉ（笑）
回答ありがとうございました！

回答No.2

starflora

では、非常に簡単に説明します。

　　黒板の上で、あるいはノートの上で、チョークとか、サインペンで線を引きます。チョークの先やペンの先を、「点」と考えると、点が移動すると、「線」ができるでしょう？
　　次に、砂場を考えて、できりだけ細い、線のような棒を取って、これを、砂の上に押しつけ、棒に交わる方向に、砂に押しつけながら、棒を移動させるとどうなりますか？　砂の上に、四角形とか長方形の跡が残るでしょう。これが「面」で二次元です。

　　次に、四角形でも長方形でもよいのですが、板を、その板の面に垂直な方向に移動させてみてください。この場合、跡に何も残りませんが、板が通った跡は、空間で、「立方体」になっているでしょう？　これが三次元です。

　　今度は立方体を移動させるのですが、この場合も、跡は残りません。しかし、或る位置から次々に動かせて行くのですから、通った跡に記録があるとすると、それを合計すると、ただの立方体ではなく、例えば、２０ｃｍ動かした時、最初の位置から、この２０ｃｍ先の位置まで移動するあいだの、色々な位置の違う立方体の記録があるということになるでしょう。このような、移動した立方体の移動の跡の全体を集めたものは、超立方体だといえ、「四次元」になります。

　　立方体の移動というのは、実は、時間のなかで起こっているのです。
　　空間のなかで立方体を移動させるのでなく、そのまま動かさないで置いたとします。しかし、午前１時に立方体をある処に置いておいて、午前２時に見に行くと、誰かが動かさない限り、そこに立方体はあるでしょう。立方体は動いていませんが、時間のなかで考えると、午前１時の立方体、１時１分のそれ、１時２分のそれ……と時間に沿って、それぞれの瞬間に立方体はあったことになります。

　　時間は一応、幾らでも小さな時間があるので（本当はそうではないのですが）、色々な無数の時刻で、合計すると無数の立方体があったことになります。この全体が、時間を第四の次元とする、超立方体で、これは「四次元」です。

　　空間の三つの次元に、時間の一つの次元を加え、わたしたちが生きているのは、「四次元時空」だという風に言います。

　　５次元や６次元は、同じような考えです。４次元の超立方体を、移動させると、その移動の跡を合計すると、５次元の超立方体になり、６次元は、５次元の超立方体を移動させて、その跡を合計すると、６次元超立方体になります。

　　三次元の立方体までは、「跡」が見えるようにできますので、見たり、触ったりできますが、それ以上の高次元の超立方体は、或る特定の「跡」しか見えません。全体を一度には見えません。頭のなかで、全体を考えてみることができるだけです。

お礼

４次元は、タテ、ヨコ、高さ、そして時間だと考えていいんですね？
５次元、６次元は全く新しい要素が加わるわけじゃなかったんですね。４次元、５次元の連続だったんだ。
頭のなかでこんなことを考えちゃう人ってスゴイなぁ☆
回答ありがとうございました！