絶対値のカッコの外し方と、その時の範囲分け。

質問

a>1とする。点（０.ａ）から、
曲線ｙ＝｜x＾２/２　－　１｜の上の点Ｐ（ｘ、ｙ）への距離の最小値をaで表せ。

この問題わかりません！！教えてください！
あとヒントで範囲分けが、
（ア）－√２≦ｘ≦√２　（イ）√２≦ｘ（ウ）ｘ≦ー√２

という風にヒントを貰ったのですが、絶対値がハッキリまだしてないので、どうしてこの３つで解くのか？も教えてください。

理由としては、題意の　ｙ＝｜ｘ＾２/２　－　１｜は私は
ｘ＾２/２　－　１≧０の時と、ｘ＾２/２　－　１＜０の時で分けてカッコを外すだけだと思ったのですが。。なぜか貰ったヒントの（ア）（イ）（ウ）みたいになるらしいです！どうしてか詳しく教えてください！！

回答No.3

debut · ベストアンサー

No1です。
　点Pが（ア）の範囲にあるときは、当然、点（０、ａ）からPまでの距離の最小値は
　ａ－１です。（点（０，１）が頂点で上に凸の放物線だから点（０、ａ）と放物線の
　頂点までが最小距離)
　＜※ここで、点（０、ａ）をAとしますね。＞
　点Pが（イ）と（ウ）にあるときは同じですから、（イ）の場合で考えると、点Aと点P
　との最短距離は、点Pにおける接線とAPが垂直に交わるときです。
　さて、点Pにおける接線の傾きはｙ'＝ｘよりｘで、直線の垂直条件からAPの傾きは－１/ｘ。
　そして座標からAPの傾きを求めると(ｙ－ａ)/ｘとなり、これが－１/ｘと等しいから
　ｙ－ａ＝－１、つまりｙ＝ａ－１となります。
　次に、APの距離を式で表すと√{(x-0)^2+(y-a)^2}＝√{x^2+(y-a)^2}ですが、ｙ＝ａ－１
　を入れれば　√(x^2+1)　になります。ところで、ｙ＝ａ－１の式のｙは曲線上の点ですから
　ｙ＝ｘ^２/２－１を満たすので、これを代入するとｘ^２/２－１＝ａ－１となり、ｘ^２＝２ａ。
　これを√(x^2+1)に入れて、答えの　√(２ａ＋１)　を得ることができます。
　（ウ）も全く同じ答えになります。

もっとスマートにいくと思うけど、眠くて頭がまわらんです・・
おやすみなさーい。

お礼

本当にどうもありがとうございました！おかげで解りました！！

回答No.2

oyaoya65

＞ｘ＾２/２　－　１≧０の時と、ｘ＾２/２　－　１＜０の時で分けてカッコを外すだけ

#1さんのおっしゃるとおり、それで良いです。

点A(0,a)がｙ軸上の点で、曲線ｙ＝｜x＾２/２　－　１｜もｙ軸対称のグラフになりますから、対称性からx≧0だけで考えても問題はないわけです。

ヒント
aを１から増加させていくと、あるaoまでは(a-1)が最小値になることはグラフから明らかですね。aoを超えるとy=x^2/2 -1 (|x|≧√2)上の点Pと点A距離の方が最小になりますね。
最小条件は直線APと点Pにおけるy=x^2/2 -1の接線が直交するということですね。

お礼

解りました！どうもありがとうございました！！

補足

範囲分けはわかったのですけど、その後どうしたら言いのでしょうか？！　詳しく教えて欲しいです！！つまり絶対値のカッコを外すまでは良かったのですけど、その後これらを用いて、どういう風にしたら良いのか。。また、その理屈も知りたいですぅ。

回答No.1

debut

＞ｘ＾２/２　－　１≧０の時と、ｘ＾２/２　－　１＜０の時で分けてカッコを外すだけだと
＞思ったのですが。。

　　それでいいと思います。前半部分を（イ）と（ウ）に分けているだけです。
　　ｙ＝｜x＾２/２　－　１｜のグラフをかいてみるとはっきりしますよ。

補足

範囲分けはわかったのですけど、その後どうしたら言いのでしょうか？！　詳しく教えて欲しいです！！つまり絶対値のカッコを外すまでは良かったのですけど、その後これらを用いて、どういう風にしたら良いのか。。また、その理屈も知りたいですぅ。