引数が関数の関数の偏微分

質問

f( x(y,p), y )
をyで偏微分したいのですが、これはどのように計算すればよいのでしょうか？

xはy,pの関数なので、ｆは結局
f( y,p )
という形にかけるように思えてしまい、結局、
∂f( y,p )/∂y
となるというような気がしてしまいます。
（ｘを具体的にｙ、ｐの式として何か適当に決めれば、上の考え方がおかしいことはわかっています。）

答えは１項ではなく、２項出て来る（積の微分から？）ようなのですが、その理由がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

これはxとyが独立ではなく、拘束条件が加わっている場合の偏微分ですね。

通常xとyが独立な場合はxを定数とみなしてyで微分することでyでの偏微分が得られます。

今回の場合は次のように考えます。

f(x,y)においてx,yを微少量dx,dy変化させた場合のf(x,y)の変化量df(x,y)は
df(x,y)=Adx+Bfy
と表すことができるとします。ここでAはdy=0の場合のf(x,y)の変化量とxの変化量の比、つまりA=∂f(x,y)/∂xであり、B=∂f(x,y)/∂yとなります。

df(x,y)=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy (1)

今回の場合、x=x(y,p)という拘束条件が加わりますのでdx=0とはできません。
dx=(∂x(y,p)/∂y)dy+(∂x(y,p)/∂p)dp
となりますので、pを定数とみなすと
dx=(∂x(y,p)/∂y)dy
となります。　これを(1)に代入すると
df(x(x,p),y)=(∂f/∂x)(∂x(y,p)/∂y)dy+(∂f/∂y)dy={(∂f/∂x)(∂x(y,p)/∂y)+(∂f/∂y)}dy
となります。

この条件のもとでf(x,y)をyで微分すると両辺をdyでわり、
(∂f(x,y)/∂y)(x=x(y,p))=(∂f/∂x)(∂x(y,p)/∂y)+∂f/∂y
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなりまして申し訳ありません。
とても分かりやすく説明して頂き、スムーズに理解することができました！

最後の式を見ますと、
ｘを定数のように見てｆをｙで偏微分した変化分に、
∂x/∂y に対応した寄与を足した形になっているんですね。

どうもありがとうございました。また機会があればよろしくお願い致します。

回答No.2

endlessriver

>>xはy,pの関数なので、ｆは結局
>>f( y,p )
>>という形にかけるように思えてしまい。

というところが違っています。fとは別の関数gをとり
f( x(y,p), y )=g(y,p)　とかけますので
∂g( y,p )/∂y
となる。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなりまして申し訳ありません。

確かにf(y,p) と g(y,p) は、引数が共通なだけで、
関数形はまったく違う形ですね。
関数の具体的な式が与えられていないような場合だと、
引数が違うだけでまったく別の関数形を表したりするので混乱していました。
この辺の記述はもっと分かりやすくならないんですかねぇ…(^^;

ありがとうございました。また機会があればよろしくお願い致します。