球の切断面の面積を求める問題について

質問

球の切断面の面積を求める問題について

一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHと立方体のすべての面に接する球があり、点B、D、Gを通る平面で立方体と球を切断する時、球の切断面の面積はいくらか？という問題が出されたのですが、解き方がわかりません。

また、この場合、積分などを用いたら切断された球の体積についても求められると思うのですが、どのように計算したらいいのでしょうか？

高校・大学数学のどちらの範囲の内容の解き方でもいいので、わかるかたいましたら回答よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
図を描いて、よく見ると方針が見えてきますよ。＾＾

・球は、立方体の一つの面と「どのような点で接していますか？」
・3点 B、D、Gを通る立方体の切り口はどのような図形になっていますか？
そして、上記の接している点との位置関係はどうなっていますか？

これがわかると、ちょっとした計算だけで切り口の半径が求まってしまいます。

切断された図形の体積についても、切り口の半径から積分区間がわかるので計算することができます。

回答No.2

right_wing

切断面の円の半径が分かれば解けますね。
切断した図形の内、点Cを含む側の形状は三角錐（Cを頂点として）であり、BDGは辺を√2とする正三角形。その他の面は二等辺三角形である。
見てみると、切断面の円は正三角形BDGに内接しています。
※球との接点はBDの真ん中とDGの真ん中とGBの真ん中ですから。
そこで、三角形BDGの重心と内接円と三角形BDGの接点との距離を求めます。これが内接円の半径です。
後はお約束の半径×半径×Πで求められます。